Mi profesor me dijo que resolviera un problema de física en el que tenía que encontrar $\rho(r)$ utilizando: $$\frac{\rho(r).dV}{\varepsilon_0}=\vec E(r+dr)S(r+dr)-\vec E(r)S(r)$$ donde $dV$ es un pequeño volumen esférico hueco, es decir $\frac d{dr}\left({\frac43\pi r^3}\right)=4\pi r^2dr$ y $\vec E(r)$ es un vector conocido (como $\vec E(r)=ar^4\hat r$ y a es una constante, tras resolver que obtenemos $\rho=6ar^3\varepsilon_0$ ), y $S(r)$ es la superficie esférica $4\pi r^2$ .
Encontré otra fórmula convincente en un buen libro: $$\vec\nabla.\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
Lo sé: $$\vec\nabla=\sum\frac{\partial}{\partial x}\hat x$$ y en coordenadas esféricas: $$\vec\nabla=\frac{\partial}{\partial r}\hat r+\frac{\partial}{r\partial \theta}\hat \theta+\frac{\partial}{r\sin\theta\partial \phi}\hat \phi$$ Así que lo intenté: $$\vec\nabla.\vec E=\left(\frac{\partial}{\partial r}\hat r+\frac{\partial}{r\partial \theta}\hat \theta+\frac{\partial}{r\sin\theta\partial \phi}\hat \phi\right).(ar^4\hat r)=\frac{\partial}{\partial r}ar^4=4ar^3\ne6ar^3$$
Después de comprobarlo encontré: $$\vec\nabla.\vec E=\frac{\partial(r^2E_r)}{r^2\partial r}+...=6ar^3$$
¿Cómo es que $r^2$ ¿entrar ahí?
