Un subconjunto analítico como clase de homología singular de una variedad compacta

Question

Sabemos que toda variedad diferencial puede ser triangulable. Sea $M$ sea una variedad compleja compacta de dimensión $m$ y V sea un subconjunto analítico de dimensión $s$ de $M.$ Si $V$ no tiene ninguna singularidad, entonces $V$ es un submanifold complejo compacto de $M.$ Por lo tanto, V puede considerarse como un elemento de $H_{2s}(M,\mathbb{C})$ (homología singular de M) para $V$ puede ser triangulable y compacto. Ahora, considera el caso general cuando V tiene singularidad, hasta donde yo sé en general V no es triangulable.

Además, es bien sabido que el conjunto analítico $V$ tiene la dualidad de Poincare $\omega$ en $H_{DR}^{2m-2s}(M)$ (Cohomología de De rham de $M$ ), y de nuevo $\omega$ tiene la dualidad de Poincare $\sigma \in H_{2s}(M,\mathbb{C}).$ Eso significa que existe $2s^{th}$ cadena de homología singular $\sigma$ tal que para toda forma 2s $\eta$ uno tiene $$\int_V \eta =\int_{\sigma} \eta.$$
Pregunta: ¿Cuál es la relación geométrica entre $V$ y $\sigma$ ? Por otro lado,

¿Cómo puede $V$ ser considerado geométricamente como un elemento de $H_{2s}(M,\mathbb{C})?$

Answer 1

Bien, ya veo. Te preocupa el caso cuando $V$ tiene singularidades. Aquí hay una serie de cosas que puedes hacer:

1. $V$ sigue siendo triangulable. Esto se remonta a Lojasiewicz, creo. Así que todavía se puede representar la clase fundamental por una cadena simple como antes.

2. Utilizar las corrientes para representar la clase (cf. Griffiths- Harris pp 366-400)

3. Busque Atiyah-Hirzebruch, "Analytic cycles on complex manifolds", Topology 1, 1961

4. (Mi favorito, aunque algunos lo consideran exagerado.) Elija una resolución de singularidades $\pi_:\tilde V\to V$ y empujar la clase fundamental $[\tilde V]$ a $M$ .