Estabilidad de haces vectoriales complejos

Question

En la definición de la estabilidad para un haz vectorial holomorfo, ¿dónde utilizamos exactamente el hecho de que el haz sea holomorfo y no sólo complejo? ¿Por qué no podríamos definir la pendiente de cualquier haz vectorial complejo?

El único lugar en el que veo que utilizamos la holomorficidad es en el que exigimos que la pendiente sea menor para cualquier subfondo holomórfico. ¿Hay algo que se me escape?

Answer 1

Intentaré dar una explicación sólo considerando los haces vectoriales complejos y holomorfos sobre Superficies de Riemann. En general es cierto lo siguiente:

Teorema

Dejemos que $X$ sea una Superficie de Riemann compacta y conectada de género $g\ge 2$ y que $E,F$ sean dos haces vectoriales complejos suaves sobre $X$ . Denote con $r=$ rk $(E)$ , $ \ r'=$ rk $(F)$ , $ \ d=$ deg $(E):=\int_Xc_1(E)$ , $ \ d'=$ deg $(F):=\int_Xc_1(F)$ . Entonces $E$ y $F$ son isomorfos si y sólo si $r=r'$ y $d=d'$ . Además, para cualquier par $(r,d)\in\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}$ existe un haz vectorial complejo y suave sobre $X$ con rango $r$ y el grado $d$

Esta clasificación se puede encontrar en:

[M. Thaddeus : Una introducción a la topología del espacio de moduli de haces estables en una superficie de Riemann , 1997]

En particular, dice que desde un punto de vista suave (topológico), las clases de isomorfismo de haces vectoriales complejos sobre $X$ están parametrizados por invariantes discretos. Hay que señalar que para esta clasificación no hemos necesitado invocar la estabilidad de la pendiente.

Todo cambia si ahora consideramos el haz de vectores complejos lisos $E$ con una estructura holomórfica, que puede ser dada por un operador (esta no es la definición habitual sino una equivalente):

\begin{equation*}\bar{\partial}_E:\Omega^0(X;E)\longrightarrow\Omega^0(X;E\otimes (T^{0,1}X)^*)\end{equation*} tal que:

1. $\bar{\partial}_E\circ\bar{\partial}_E=0$
2. $\bar{\partial}_E(f\cdot s)=\bar{\partial}f\cdot s + f\cdot\bar{\partial}_E(s), \qquad$ para $f\in C^\infty(X)$ y $s\in\Omega(X;E)$

Si se intenta clasificar toda la estructura holomórfica posible en $E$ hasta el isomorfismo (dos estructuras holomorfas son isomorfas si están conjugadas por un automorfismo de $E$ ) entonces puedes darte cuenta de que pueden ocurrir cosas extrañas. De hecho, hay ejemplos en los que el espacio de moduli de las estructuras holomorfas no es Hausdorff y, por tanto, no puede llevar una estructura de colector, que es exactamente lo que uno quiere cuando define un espacio de moduli.

Para resolver este problema, se introdujo la noción de estabilidad de la pendiente. De hecho, gracias a los trabajos de Mumford, Donaldson, Atiyah, Uhlenbeck y otros muchos y muy buenos matemáticos se han obtenido fantásticos resultados sobre el espacio de moduli de los haces holomorfos estables sobre las variedades proyectivas.