Comprensión de Dummit y Foote p.528 Sec 13.2 Extensiones algebraicas

Question

No puedo entender por qué los autores concluyen

Por lo tanto, los elementos $\alpha_i\beta_j$ span la extensión compuesta $K_1K_2$ en $F$ .

Me gustaría entender qué quieren decir los autores y cómo concluyen esto.

Traté de concluir de una manera muy diferente:

Dejemos que $x\in F(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m)=K_1K_2$ entonces, para alguna colección de conjuntos de índices $\mathscr{A}=\{I_t\}_{t=1}^n$ y $\mathscr{B}=\{J_s\}_{s=1}^m$

\begin{align*} x=&\sum_{\displaystyle i_t\in I_t, j_s\in J_s} a_{i_1,\ldots,i_n,j_1,...,j_m}(a_1^{i_1}\cdots a_n^{i_n})(b_1^{j_1}\cdots b_m^{j_m})\\ =&\sum a k_1 k_2\quad\text{where $a\in F,\ k_j\in K_j$}\\ =&\sum a(\sum p_ia_i)\cdot (\sum h_jb_j)\quad\text{where $p_i,h_j\in F$}\\ \\ =&\sum f_{ij}a_ib_j\text{where $f_{ij}\in F$} \end{align*}

Donde $I_t=\{0,1,2,\ldots, -1+[F(a_1,\ldots,a_t):F(a_1\ldots a_{t-1})]\}$ y $J_s=\{0,1,2,\ldots, -1+[F(a_1,\ldots,b_{s}):F(a_1\ldots b_{s-1})]\}$

Entonces $\{a_ib_j\}$ abarca $K_1K_2$ .

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

El autor no lo está haciendo de una manera más fácil, simplemente no está escribiendo los detalles, como lo haces en tu respuesta. He aquí por qué tu respuesta es más o menos la misma que la del libro.

Primero, escribes:

$$x=\sum a_{i_1\ldots i_nj_1\ldots j_m}(\alpha_1^{i_1}\ldots\alpha_n^{i_n})(\beta_1^{j_1}\ldots\beta_m^{j_m})$$

Ahora, dejemos que $S=\operatorname{span}_F\{\alpha_i\beta_j\}_{i=1,\ldots,n}^{j=1,\ldots,m}$ . El libro hace tres afirmaciones sobre $S$ :

1. $\alpha_i^k$ y $\beta_j^k$ son miembros de $S$ para todos $i,j$ y cualquier número entero positivo $k$ .
2. $S$ es cerrado bajo la multiplicación
3. $S$ se cierra bajo la adición

Esto es suficiente para detectar inmediatamente que $x$ está en $S$ . Por 1., sabemos que $\alpha_1^{i_1},\ldots,\alpha_n^{i_n},\beta_1^{j_1},\ldots,\beta_m^{j_m}$ están todos en $S$ . Ahora, por 2., se deduce que el producto $\alpha_1^{i_1}\ldots\alpha_n^{i_n}\beta_1^{j_1}\ldots\beta_m^{j_m}$ también está en $S$ al igual que el múltiplo escalar $a_{i_1\ldots i_nj_1\ldots j_m}(\alpha_1^{i_1}\ldots\alpha_n^{i_n})(\beta_1^{j_1}\ldots\beta_m^{j_m})$ . Esto es cierto para cualquier índice $i_1\ldots i_nj_1\ldots j_m$ por lo que por 3., podemos sumar sobre todos los índices y permanecer en $S$ . Esto demuestra, según nuestra definición de $x$ que $x\in S$ .

Obsérvese que nunca hemos escrito explícitamente ninguna de las combinaciones lineales intermedias, sólo sabemos que deben existir.