Existencia de una secuencia convergente en el subespacio

Question

P.D: ver el comentario para más especificaciones

Esta es una versión reducida de algo que leí y pensé que debería ser trivial, pero no pude conseguir el formalismo correctamente.

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, $Y\subset X$ un subespacio. Supongamos que existe $x_0\in X$ tal que para cada $x_0\in U\subset X$ abierto hay $y_U\in Y\cap U$ . Demostrar que existe una secuencia $y_n\in Y$ con $y_n\to x_0$

Esto parece trivial, ya que cada barrio de $x_0$ tiene un miembro de $Y$ pero no pude escribir una construcción formal de dicha secuencia ya que es posible que haya más de $\mathbb N$ diferentes barrios de $x_0$ .

En caso de que esto no sea una propuesta correcta:

1. ¿Ayudaría si $X$ era localmente compacto?
2. ¿Ayudaría si $X$ era un grupo topológico localmente compacto y $Y$ ¿un subgrupo discreto?

Answer 1

Esto no es cierto en general, aunque $X$ es Hausdorff compacto. Por ejemplo, si $X=[0,1]^I$ para un conjunto incontable $I$ y $Y$ es el subespacio de elementos que son $0$ en todas las coordenadas menos en las finitas, entonces $Y$ densa en todos los $X$ pero cualquier límite de una secuencia en $Y$ puede ser distinto de cero sólo en un número contable de coordenadas.

Es cierto si $X$ es un grupo localmente compacto y $Y$ es un subgrupo discreto, porque entonces sus hipótesis implican realmente $x_0\in Y$ (es decir, $Y$ está cerrado). En efecto, supongamos $x_0\not\in Y$ y que $V$ sea cualquier vecindad de $1$ . Desde $x_0x_0^{-1}=1$ hay un vecindario $U$ de $x_0$ tal que para cualquier $a,b\in U$ , $ab^{-1}\in V$ . Elija $y\in Y\cap U$ . Desde $x_0\not\in Y$ , $y\neq x_0$ Así que $U\setminus\{y_0\}$ sigue siendo un barrio de $x_0$ , por lo que también podemos elegir $z\in Y\cap U\setminus\{y_0\}$ . Entonces $yz^{-1}\in V\setminus\{1\}$ y también $yz^{-1}\in Y$ .

Así, cada barrio de $1$ contiene un punto de $Y$ que no sea $1$ . Esto significa que $1$ no es un punto aislado de $Y$ lo que contradice la suposición de que $Y$ es discreto.