Qué mapas son isomorfismos

Question

Determinar si el mapa $\phi: G \to G'$ es como un isomorfismo

a) $G = \mathbb{Z}, G' = \langle a \rangle $ (grupo cíclico infinito con operaciones expresadas como producto) $\phi(j) = a^{-4j}, j \in \mathbb{Z}$ Mi solución: No es un isomorfismo ya que no preserva el orden, es decir, si elegimos i =2, j =-2, para $i,j \in \mathbb{Z}$

b) $G = G' = D_5$ y que $\phi(a) = a^3, a \in D_5$ . Tengo problemas para demostrar que la función es una biyección y que preserva el orden.

c) $G = G' =GL(2,\mathbb{R}), \phi(A) = (A^t)^{-1}$ . Estoy un poco confundido sobre esto, si elijo, $A_{1,1}=A_{1,2}=0$ ¿entonces la matriz no será invertible, y por lo tanto no será onto?

Se agradecerá cualquier ayuda,

Gracias

Answer 1

A) Como $\langle a \rangle$ es infinito, $a \neq 1$ . Por lo tanto, no existe un $j \in \mathbb{Z}$ tal que $\phi(j) = a^{-4j} = a \in \langle a \rangle$ Si no es así $|a|=4j+1$ Por lo tanto $\phi$ no es sobreyectiva.

b) Considere $D_{10} = \langle x,a \mid a^5 = x^2 = e, xax^{-1} = a^{-1} \rangle$ , donde $x$ y $a$ pueden considerarse como reflexión y rotación, respectivamente. Entonces $\phi(ax) = (ax)^3 = ax$ pero $\phi(a) \phi(x) = a^3 x^3 = a^3 x$ Así que $\phi$ no es un homomorfismo.

c) Que $A,B \in GL(2,\mathbb{R})$ . Observamos que $\phi(AB) = ((AB)^T)^{-1} = (B^T A^T)^{-1} = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1}$ y $\phi(A) \phi(B) = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1}$ Así que $\phi$ es un homomorfismo. Además, $\phi$ es una composición de dos funciones biyectivas, por lo que es biyectiva. Por lo tanto, es un isomorfismo.