El flujo de Yang-Mills, el flujo de Ricci y la holonomía

Question

¿Se conserva el grupo de holonomía (basado en algún punto) a lo largo del flujo de Yang-Mills/flujo de Ricci?

(1) Para el caso de Yang-Mills, sabemos que el centralizador de la holonomía $H_x$ es el grupo de isotropía de la conexión $\Gamma_A$ . Por lo tanto, por la unicidad del flujo, $\Gamma_A$ no puede reducirse a lo largo del flujo. Pero, ¿puede hacerse más grande?

(2) ¿Podemos derivar algo para $H_x$ dado algunos resultados de $\Gamma_A$ ?

(3) ¿Y el caso del flujo de Ricci? No estoy muy seguro de esto. Parece que la holonomía especial significa (casi) Einstein, excepto ser Kahler. En cualquier caso, ¿se conservan?

Answer 1

Si su colector compacto (asuma WLOG irreducible, es decir, no un producto) tiene la métrica de Einstein, entonces el flujo de Ricci sólo escala, así que estamos bien. Pero como contraejemplo en general, consideremos $SO(n)$ con un toro casi plano (es decir, perturbar la métrica plana). La holonomía es $SO(n)$ pero el flujo de Ricci puede hacerlo plano en el límite, de modo que la holonomía se reduce a trivial.
Ahora el caso Kahler $U(n/2)$ El flujo de Ricci preserva la Kahlerness de la métrica, por lo que la holonomía no puede saltar por encima de $U(n/2)$ . Pero podría caer como en el contraejemplo anterior.

(Recuerdo haber aprendido esto de Robert Bryant)