¿Explicación detallada y comprensible de por qué 0!=1?

Question

He consultado muchas páginas web en internet sobre la prueba, pero no la he entendido del todo.. Por favor, ayuda.

Hasta donde yo sé, $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$

Entonces, utilizando la misma lógica, $0!=0$

Entonces, ¿por qué es que $0!=1$ ?

Answer 1

Tengo dos explicaciones

1= como sabemos $(n+1)! = n!(n+1)$ así que desde aquí $n! =\frac{(n+1)!}{(n+1)}$

por lo que tenemos $4!=4*3*2*1=24$ y $3!=\frac{4!}{4}=6$ y $2!=\frac{3!}{3}=2$ y $1!=\frac{2!}{2}=1$ y así $0!=\frac{1!}{1}=1$

2= una forma sencilla de entender lo que significa el factorial es decir: "dado un conjunto de n objetos, n! es el número de formas diferentes de ordenar esos objetos". Esto tiene sentido para, por ejemplo, n=3: hay seis formas diferentes de ordenar un conjunto de tres objetos (¡pruébalo tú mismo y verás!) Pero sólo hay una forma de ordenar un conjunto de 0 objetos, ya que no hay nada que reordenar. Si no pusiéramos 0! = 1, esta descripción no funcionaría.

Otra fórmula sencilla es, para n > m, n!/m! = (n-m)!. Esto funciona si 0! = 1: n!/0! = n!/1 = n! = (n-0)!. Pero si tuviéramos cualquier otro valor para 0!, como por ejemplo 0, esta fórmula no tendría sentido y tendríamos que cambiarla para decir "¡n!/m! ¡= (n-m)! a menos que m = 0", ¡lo que es mucho más largo y menos bonito!

Hay otros innumerables ejemplos de por qué 0! = 1 es útil. ¿Se te ocurre alguno?

Answer 2

Esta es una forma de verlo: observamos que el factorial sigue esta regla: $$ \begin{align} n! &= n\times(n-1)\times(n-2)\times(n-3)\times\cdots\times1\\ &=n\times\left[(n-1)\times(n-2)\times(n-3)\times\cdots\times1\right]\\ &=n\times(n-1)! \end{align} $$ o, en otras palabras, $$ (n-1)! = \frac{n!}{n} $$ Por ejemplo, observamos que $$ 2!=\frac{3!}{3}=\frac{3\times2\times1}{3}=2\\ 1!=\frac{2!}{2}=1\\ $$ Con $n=0$ La misma regla debería aplicarse. Por lo tanto, definimos $0!$ como $$ 0!=\frac{1!}{1}=1\\ $$ Ten en cuenta que esto no funciona tan bien si sigues bajando a números negativos.

Answer 3

He indicado, en un comentario sobre la pregunta, por qué $0!$ debería, "usando la misma lógica", ser el producto de ningún factor. Pero, ¿cómo debe definirse este producto? He aquí una explicación al respecto. En general, si se forma un producto de $k$ factores, forman otro producto de $l$ factores, y luego multiplicar esos dos productos, el resultado es el mismo que si se multiplican todos los $k+l$ de los factores, es decir, $$ (a_1a_2\cdots a_k)\cdot(b_1b_2\cdots b_l)=(a_1a_2\cdots a_kb_1b_2\cdots b_l). $$ Esta parece ser una propiedad tan básica de la multiplicación que querríamos conservarla si ampliamos la noción de "producto" para permitir el caso de que no haya factores. Así que veamos esta propiedad con $k=0$ . Dice que $$ (\text{product of no factors})\cdot(b_1b_2\cdots b_l)=(b_1b_2\cdots b_l). $$ La única manera de que esto funcione, para el general $b$ es si el producto de ningún factor se define como $1$ . (Obtendríamos la misma conclusión tomando $l=0$ en lugar de $k=0$ .)

P.D. El mismo argumento se aplica no sólo a la multiplicación sino también a cualquier operación asociativa con un elemento de identidad: La operación aplicada a ninguna entrada debe producir el elemento de identidad. Así, por ejemplo, la suma de ningún término debe definirse como $0$ y la unión de ningún conjunto debe definirse como el conjunto vacío.

Answer 4

Otra forma de verlo:

Por ejemplo, las sumas:

$$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

Ahora bien, si $0! = 0$ entonces, $k = 0 \implies \frac{1}{0} = \widetilde{\infty}$