La presentación aquí es típico de los que se utilizan para el modelo y motivar a las infinitas dimensiones de Gauss integrales encontrado en la teoría cuántica de campos.
Voy a utilizar subíndices en lugar de los superíndices para indicar los componentes.
I. la Mecha del teorema de
Primero, considere la integral
$$Z_0 = \int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2} x^\mathrm{T} A x\right),$$
donde $d^n x = \prod_i d x_i$ $A$ es simétrica y definida positiva.
Diagonalize $A$ con una transformación ortogonal.
Dejando $D = M^\mathrm{T} A M = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$$z = M^\mathrm{T} x$, y tomando nota de que el Jacobiano es la identidad, nos encontramos con
$$\begin{eqnarray}
Z_0 &=& \int d^n z \exp\left(-\frac{1}{2} z^\mathrm{T} D z\right) \\
&=& \prod_i \int d z_i \exp\left(-\frac{1}{2} \lambda_i z_i^2\right) \\
&=& \prod_i \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_i}} \\
&=& \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}.
\end{eqnarray}$$
Añadir un término de origen
$$Z_J = \int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2} x^\mathrm{T} A x + J^\mathrm{T} x\right).$$
Completar el cuadrado para eliminar la cruz de término.
Dejando $x = y + A^{-1}J$, nos encontramos con
$$\begin{eqnarray}
Z_J &=& \int d^n y \exp\left(-\frac{1}{2} {y}^\mathrm{T} A y
+ \frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J\right) \\
&=& \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}
\exp\left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J\right).
\end{eqnarray}$$
Siempre hay un factor de $\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}$.
Para mayor comodidad, vamos a definir
$$\langle x_{k_1} \cdots x_{k_{2N}}\rangle = \frac{1}{Z_0}
\int d^n x \ x{k_1} \cdots x_{k_{2N}} \exp\left(-\frac{1}{2} x^\mathrm{T} x\right).$$
(Observe que $\langle x_{k_1} \cdots x_{k_{2N+1}}\rangle = 0$ desde la integral es impar.)
A grandes rasgos, estos son libres de campo de dispersión de las amplitudes.
Esta integral se puede encontrar tomando derivados de $Z_J$,
$$\langle x_{k_1} \cdots x_{k_{2N}}\rangle =
\left.\frac{1}{Z_0} \frac{\partial}{\partial J_{k_1}} \cdots \frac{\partial}{\partial J_{k_{2N}}} Z_J\right|_{J=0}.$$
(Tenga en cuenta que cada factor de $\partial/\partial_{J_{k_i}}$ aporta un factor de $x_{k_i}$ integral $Z_J$.)
El uso de esta fórmula es un sencillo ejercicio para trabajar, por ejemplo, que
$$\begin{eqnarray}
\langle x_{k_1} x_{k_{2}}\rangle
&=& \left.\frac{\partial}{\partial J_{k_1}} \frac{\partial}{\partial J_{k_{2}}}
\exp\left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J\right)\right|_{J=0} \\
&=& \frac{\partial}{\partial J_{k_1}} \frac{\partial}{\partial J_{k_{2}}}
\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J \\
&=& \frac{1}{2} ( A^{-1}_{k_1 k_2} + A^{-1}_{k_2 k_1}) \\
&=& A^{-1}_{k_1 k_2},
\end{eqnarray}$$
lo cual está de acuerdo con la fórmula para $N=1$.
Este es el "campo libre propagador."
(En el último paso hemos utilizado el hecho de que $A^{-1}$ es simétrica.)
Es posible ver a través de una inspección que la fórmula general de la $N$ es
$$\langle x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\rangle = \frac{1}{2^N N!}
\sum_{\sigma \S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}.$$
De hecho
$$\begin{eqnarray}
\langle x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\rangle &=&
\left.\frac{\partial}{\partial J_{k_1}} \cdots \frac{\partial}{\partial J_{k_{2N}}}
\exp \left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J \right) \right|_{J=0} \\
&=& \frac{\partial}{\partial J_{k_1}} \cdots \frac{\partial}{\partial J_{k_{2N}}}
\frac{1}{N!} \left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J\right)^{N} \\
&=& \frac{1}{2^N N!} \frac{\partial}{\partial J_{k_1}} \cdots \frac{\partial}{\partial J_{k_{2N}}}
\left(J^\mathrm{T}A^{-1}J\right)^{N}.
\end{eqnarray}$$
Tenga en cuenta que el derivado $\partial/\partial J_{k_1}$ operará en todas las $J$s.
Del mismo modo para los otros derivados.
Por lo tanto, vamos a obtener una suma sobre todos los $(2N)!$ permutaciones posibles de la $k_i$.
Estas permutaciones se denota por a$\sigma$) y que viven en el grupo simétrico $S_{2N}$.
Así, llegamos al resultado, conocido como Mecha del teorema.
(Si esto parece demasiado vago, es sencillo encontrar el resultado por inducción en $N$.
Tenemos la fórmula para $N=1$ anterior).
Vamos a descansar la dispersión de la amplitud de $N=2$.
Tenemos
$$\langle x_{k_1}x_{k_2}x_{k_3}x_{k_4}\rangle = \frac{1}{2^2 2!}
\sum_{\sigma \S_{4}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} (A^{-1})_{k_{\sigma(3)}k_{\sigma(4)}}.$$
Hay $4! = 24$ permutaciones en $S_4$ e lo $24$ términos en la suma.
Por ejemplo, $(12)$ es de $1$$2$$2$%#%.
No todas las permutaciones dar a los términos independientes.
De hecho, la degeneración es $1$, ya que el $2^N N!$ es simétrica y el orden de las $A^{-1}$s no importa.
Por lo tanto, sólo habrá
$A^{-1}$$
términos independientes.
Para $$\frac{(2N)!}{2^N N!} = (2N-1)!!$ hay tres términos independientes,
$$\langle x_{k_1}x_{k_2}x_{k_3}x_{k_4}\rangle
= A^{-1}_{k_1 k_2}^{-1}_{k_3 k_4}
+ A^{-1}_{k_1 k_3}^{-1}_{k_2 k_4}
+ A^{-1}_{k_1 k_4}^{-1}_{k_2 k_3}.$$
II. Central de la identidad
Considere la posibilidad de
$N=2$$
Estamos interesados en $$I_J = \frac{1}{Z_0} \int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2}x^\mathrm{T}A x + J^\mathrm{T}x \right) f(x).$.
La presencia de la fuente nos permite llevar a $I_0$ fuera de la integral si queremos reemplazar su argumento con $f$,
$$\begin{eqnarray}
I_0 &=& \left.f(\partial_J) \frac{1}{Z_0} \int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2}x^\mathrm{T}A x + J^\mathrm{T}x \right)\right|_{J=0} \\
&=& \left.f(\partial_J) \exp\left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J\right)\right|_{J=0}.
\end{eqnarray}$$
Este es un típico truco.
De hecho, es equivalente a lo que Anthony Zee llama a la "central de la identidad de la teoría cuántica de campos."
Usualmente $\partial/\partial J$ donde $f(x) = \exp[-V(x)]$ es el potencial.
Hay una buena interpretación gráfica de la fórmula en la forma de los diagramas de Feynman.
El proceso de cálculo de
$V(x)$$
es equivalente a "juntar" los propagadores ( $$\left.e^{-V(\partial_J)} \exp\left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}A^{-1}J\right)\right|_{J=0}$ ) con vértices representado por el operador $A^{-1}$.
Por supuesto, hay mucho más que eso!
Ahora queremos mostrar
$-V(\partial_J)$$
Si consideramos que una expansión de Taylor para $$I_0 = \left.\exp\left(\frac{1}{2}\partial_x^\mathrm{T} A^{-1}\partial_x\right) f(x)\right|_{x=0}.$ $f(\partial_J)$ podemos ver que esto es equivalente a
$$\left.\partial_{J_{k_1}}\cdots \partial_{J_{k_{2N}}} \exp\left(\frac{1}{2} J^\mathrm{T}^{-1}J\right)\right|_{J=0}
= \left.\exp\left(\frac{1}{2}\partial_x^\mathrm{T}^{-1}\partial_x\right) x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\right|_{x=0}.$$
El lado izquierdo es $f(x)$, por los argumentos anteriores.
Pero
$$\begin{eqnarray}
\left.\exp\left(\frac{1}{2}\partial_x^\mathrm{T} A^{-1}\partial_x\right) x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\right|_{x=0} &=&
\frac{1}{2^N N!} \left(\partial_x^\mathrm{T} A^{-1}\partial_x\right)^N x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \\
&=& \frac{1}{2^N N!} \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}} \\
&=& \langle x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\rangle.
\end{eqnarray}$$
Por ejemplo, para $\langle x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\rangle$,
$$\begin{eqnarray}
\left.\exp\left(\frac{1}{2}\partial_x^\mathrm{T} A^{-1}\partial_x\right) x_{k_1} x_{k_{2}}\right|_{x=0}
&=& \left(\frac{1}{2} \partial_x^\mathrm{T} A^{-1}\partial_x\right) x_{k_1} x_{k_2} \\
&=& \frac{1}{2} A^{-1}_{ij}(\delta_{i k_1}\delta_{j k_2} + \delta_{i k_2}\delta_{j k_1}) \\
&=& \frac{1}{2} (A^{-1}_{k_1 k_2} + A^{-1}_{k_2 k_1}) \\
&=& A^{-1}_{k_1 k_2}.
\end{eqnarray}$$
Referencias
Muchos textos sobre la teoría cuántica de campos lidiar con tales finito dimensionales integrales sobre la manera de tratar el caso de infinitas dimensiones. Véase, por ejemplo,
A. Zee. La teoría cuántica de campos en una cáscara de nuez
J. Zinn-Justin. La Teoría cuántica de campos y Fenómenos Críticos
