Problema: Demostrar que si $\lim_{x \to \infty} f(x)$ existe y $\lim_{x \to \infty} f''(x)$ existe, entonces $\lim_{x \to \infty} f''(x)=\lim_{x \to \infty} f'(x)=0$.
Solo necesito ayuda para demostrar que $\lim_{x \to \infty} f'(x)$ existe. También se agradecerían pistas
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No necesitas demostrar eso, esa es la suposición básica de este problema.
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$f(x)=x$ no tiene límite cuando $x\rightarrow +\infty$
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Estoy asumiendo que el límite es finito.
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@MoonKnight el problema asume simplemente que los límites en el infinito de $f(x)$ y $f''(x)$ existen pero no dice nada acerca de $f'(x)$.
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Una versión más general es que si $\lim_{x \to \infty}f(x)$ existe y $f''(x)$ está acotada para todo $x > a$ entonces $f'(x) \to 0$ cuando $x \to \infty. Ver math.stackexchange.com/q/730411/72031 La existencia del límite de $f''(x)$ en esta pregunta asegura su acotación para todos los $x$ mayores que algún número.