Valor de $\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{1}{n}f(\frac{j}{n})$

Question

Si $f$ es continua en [0,1] entonces cuál será el valor de $$\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}\frac{1}{n}f\left(\frac{j}{n}\right)?$$

Lo sabemos, $$\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{{n}}\frac{1}{n}f\left(\frac{j}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx$$ Pero cuál será el valor si tenemos $\left[\frac{n}{2}\right]$ en lugar de $n?$

Answer 1

Idea: Trata de masajearlo en la suma de Riemann para otra función continua $g$ , estrechamente relacionado con $g$ por un "cambio de variables" $u=\frac{x}{2}$ .

En detalle. Supongamos sin pérdida de generalidad que $n$ es incluso (¿por qué puede hacerlo? Compruebe que no cambia nada) es decir $n=2m$ . $$ \sum_{j=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{1}{n}f\left(\frac{j}{n}\right) =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{m}\frac{1}{m}f\left(\frac{j}{2m}\right) =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{m}\frac{1}{m}g\left(\frac{j}{m}\right) \xrightarrow[m\to\infty]{} \frac{1}{2}\int_0^1 g $$ donde $g\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ se define por $g(x)\stackrel{\rm def}{=} f(\frac{x}{2}).$ (En particular, $g$ es continua).

Entonces, tenemos $$ \int_0^1 g(u)du = \int_0^1 f(\frac{u}{2})du = \int_0^{\frac{1}{2}} 2f(x)dx $$

por lo que su límite global será $ \int_0^{\frac{1}{2}} f(x)dx $ .