Quiero demostrar que \begin{align} f:[0&,1]\to \Bbb{R}\\&x\mapsto \begin{cases}0,&0\leq x<1/2,\\\\ 1,&1/2\leq x\leq 1. \end{cases}\end{align} es integrable en Riemann sobre $[0,1]$ y también, quiero encontrar el valor.
MI JUICIO
Dejemos que $\epsilon>0,\;x_1\in [0,1/2)$ y $x_2\in [1/2,1]$ tal que $x_2-x_1<\epsilon.$ El conjunto $$P=\{0,x_1,x_2,1 \}$$ forma una partición de $[0,1].$ Definir $\Delta x_j=(x_j-x_{j-1})$ y $I_j=[x_{j-1}-x_j],\;j=1,2,3.$ Así, las sumas superior e inferior de Darboux vienen dadas por $$U(f,P)=\sum^{3}_{j=1}M_j \Delta x_j=1-x_1,\;\;\text{where}\;\;M_j=\sup_{x\in I_j}f(x),$$ $$L(f,P)=\sum^{3}_{j=1}m_j \Delta x_j=1-x_2.$$ Entonces, $$U(f,P)-L(f,P)=x_2-x_1<\epsilon.$$ Por lo tanto, $f$ es integrable en Riemann sobre $[0,1]$ .
He podido demostrar, como se ha visto anteriormente, que $f$ es integrable en Riemann sobre $[0,1]$ pero no es capaz de encontrar el valor de la integral. Sé que la respuesta es $1/2$ pero ¿alguien puede ayudar mostrando cómo podría llegar a ella?
