Ayuda para demostrar si los conjuntos son convexos o no.

Question

Estoy tratando de ver si los siguientes conjuntos son convexos para todos $x$ . He probado $S_1$ , pero tiene problemas con $S_2$ y $S_3$ .

$S_1 = \{x \in R^n : \lVert Ax \rVert \leq 1\} $
$S_2= \{x \in R^n : \lVert Ax \rVert \geq 1\} $
$S_3= \{x \in R^{2n} : \sum_{k=1}^{n} x^2_k \leq \sum_{k=n+1}^{2n} x^2_k \} $

$S_1$ :

\begin{equation} \label{eq1} \begin{split} \lVert A(\alpha x + (1 - \alpha)y)\rVert & = \lVert \alpha A x + (1 - \alpha)Ay\rVert \\ & \leq \alpha\lVert A x \rVert +(1 - \alpha)\lVert Ay\rVert \\ & = \alpha(1) + (1-\alpha)(1) = 1 \end{split} \end{equation} Por lo tanto, $S_{1}$ es convexo porque las normas no pueden ser negativas y por lo tanto debe ser igual a 1.

Para $S_2$ intuitivamente puedo ver que es cóncavo. ¿Pero cómo puedo demostrarlo? Preferiría ver una prueba en lugar de un contraejemplo.

Para $S_3$ No sé ni cómo empezar.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $S_2$ no está vacío, y si $x \in S_2$ entonces también tenemos $-x \in S_2$ Compruebe que $0 \notin S_2$ y puedes llegar a una conclusión.

Para $S_3$ consideremos primero el caso especial de $n=1$ entonces tenemos $(1,1) \in S_3$ y $(1,-1)\in S_3$ comprueba que su punto medio $(1,0) \notin S_3$ . Utiliza esta idea para generalizar a un número arbitrario de $n$ .