¿Qué hace $X \not \models \beta$ ¿realmente significa?

Question

Tengo una pregunta.

Sea X un conjunto cualquiera. Sea $v$ ser la valoración.

He visto la definición que dice que $X \models \beta$ significa que para cualquier valoración $v$ : si $v(X)\subseteq\{1\}$ entonces $v(\beta)=1$ .

Pregunta 1. ¿ $()\subseteq \{1\}$ significa al mismo tiempo que "todas las premisas de X son verdaderas o X es un conjunto vacío"?

Pregunta 2. Si es así, ¿qué es lo que realmente $X\not\models\beta$ ¿dice?

Opción (1): "existe $v$ tal que $v(X)\subseteq \{1\}$ y $v(\beta)=0$ ". Si es así, ¿significa que al mismo tiempo: "todas las premisas son verdaderas y $\beta$ es verdadero o $X=\emptyset$ y $\beta$ es cierto"?

o

Opción (2): "existe $v$ tal que $v(X)=1$ y $v(\beta)=0$ ". Si es así, ¿debo leer "todas las premisas son verdaderas y $\beta$ es falso?

¿Qué opción es la adecuada? ¿O tal vez ambas opciones son incorrectas? La pregunta básicamente es: ¿qué es lo que $X\not \models \beta$ y cómo escribirlo utilizando la valoración?

Por favor, ayúdame a entender.

Answer 1

1. $X$ es un set de fórmulas. Así, decir que $v(X) \subseteq \{ 1 \}$ significa que todas las fórmulas de $X$ a satisfecho (evaluado a $1$ es decir, Verdadero) por $v$ .

Es más habitual: $v \vDash X$ .

2. Cuando $\beta$ es una fórmula, para decir que $X \nvDash \beta$ significa que $\beta$ es no consecuencia lógica del conjunto $X$ de las premisas, es decir, que hay alguna valoración $v$ tal que $v \vDash X$ y $v \nvDash \beta$ es decir, tal que $v$ satisface todas las fórmulas de $X$ y falsifica $\beta$ .

Por lo tanto, la opción (2) es la correcta.

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Cuando $X$ es el conjunto vacío. tenemos que $\emptyset \vDash \beta$ significa que $\beta$ es un tautología es decir, una fórmula que es verdadera en todas las interpretaciones. Normalmente la escribimos: $\vDash \beta$ .

Así, para escribir $\nvDash \beta$ significa: no es cierto que $\vDash \beta$ es decir, significa que $\beta$ es no una tautología.