Distribución de Poisson con parámetro exponencial

Question

Si tenemos $X(k)\sim Pois(2k)$ y $Y \sim Exp(15)$ y $Z=X(5Y)$ . ¿Cómo podemos determinar $E(Z)$ , $Var(Z)$ y $P(Z = z)$ .

Hasta ahora estoy pensando $$\begin{align*} E(Z) &= E(X(5Y)) \\ &= E(Pois(10Y)) \\ &= E(10Y) \\ &= 10E(Y) \\ &= \frac{10}{15} \end{align*}$$

De la misma manera, para la Varianza: $$\begin{align*} Var(Z) &= E(X(5Y)) \\ &= 100Var(Y) \\ &= \frac{100}{225} \end{align*}$$

No estoy seguro de si esta línea de razonamiento es correcta y se agradece cualquier orientación. Tampoco estoy muy seguro de cómo enfocar $P(Z=z)$ .

Answer 1

La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma, por lo que se tiene una Poisson-gamma compuesto-distribución (también conocido, confusamente como una "mezcla"). La distribución resultante es una binomial negativa, más concretamente, una distribución geométrica.

En concreto, tiene $Z\sim\text{Pois}(\lambda)$ , donde $10\lambda\sim\text{Exp}(15)$ - así que $\lambda\sim\text{Exp}(\frac{15}{10})=\text{Exp}(\frac{3}{2})$ ( según Wikipedia ), que es $\Gamma(1,\frac{3}{2})$ en la parametrización del índice de forma. La entrada de Wikipedia para el negbin como una mezcla Poisson-gamma entonces da los parámetros de la negbin resultante como $r=1$ y $\frac{1-p}{p}=\frac{3}{2}$ o $p=\frac{2}{5}$ . Finalmente, Wikipedia nos da de nuevo la media, la varianza y el PMF:

$$ \begin{align*} \mu &= \frac{pr}{1-p} = \frac{2/5}{1-2/5} = \frac{2}{3} \\ \sigma^2 &= \frac{pr}{(1-p)^2} =\frac{2/5}{(1-2/5)^2} = \frac{10}{9} \\ P(Z=z) &= {z+r-1\choose z}p^z(1-p)^r = (1-p)p^z. \end{align*} $$

(Obsérvese que hay una pequeña confusión en Wikipedia para el PMF, con $p$ y $1-p$ cambiando de lugar entre la caja de arriba y la sección de la mezcla de Poisson-gamma. La fórmula aquí es la correcta y está tomada de la sección de la mezcla Poisson-gamma).

Como escribe COOLSerdash reconocemos que se trata de una distribución geométrica que también se observa en la página de Wikipedia de negbin en "Distribuciones relacionadas" como el caso especial de $r=1$ .

Me gusta confirmar cálculos como estos con simulaciones. (De hecho, así es como encontré la confusión para el PMF en la página de Wikipedia). Las cosas parecen funcionar bien. Código R:

rate <- 15
n_sims <- 1e7
set.seed(1) # for reproducibility
yy <- rexp(n_sims,rate=15)
xx <- rpois(n_sims,5*2*yy)

hh <- hist(xx,breaks=seq(-0.5,max(xx)+0.5),col="grey",freq=FALSE,las=1)
pp <- 2/5
lines(hh$mids,pp^hh$mids*(1-pp),type="o",pch=19,col="red")

La media y la varianza que hemos obtenido anteriormente también coinciden con las simulaciones:

> mean(xx)
[1] 0.6667809
> var(xx)
[1] 1.1111

Answer 2

El cálculo de la varianza es incorrecto. Debe utilizar la ley de la varianza total:

$$\operatorname{Var}[Z] = \operatorname{E}[\operatorname{Var}[Z \mid Y]] + \operatorname{Var}[\operatorname{E}[Z \mid Y]].$$ La varianza condicional y la expectativa condicional son iguales ya que $Z \mid Y$ es Poisson: $$\operatorname{Var}[Z \mid Y] = \operatorname{E}[Z \mid Y] = 10Y.$$ Entonces $$\operatorname{Var}[Z] = \operatorname{E}[10Y] + \operatorname{Var}[10Y] = \frac{10}{15} + \frac{10^2}{15^2} = \frac{10}{9}.$$

Para calcular el PMF de $Z$ observamos $$\Pr[Z = z] = \int_{y=0}^\infty \Pr[Z = z \mid Y = y] f_Y(y) \, dy = \int_{y=0}^\infty e^{-10y} \frac{(10y)^z}{z!} 15 e^{-15y} \, dy.$$ El resto del cálculo lo dejo como ejercicio.

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Por principio, me gustaría señalar que la elección de la notación en esta pregunta me parece detestable. Yo habría escrito el modelo como tal: $$Y \sim \operatorname{Exponential}(15), \\ Z \mid Y \sim \operatorname{Poisson}(10Y),$$ e ignorado $X$ por completo.

Answer 3

Una pista: $$E(X(5Y))= E(E(X(5y)|Y=y))=E(10Y)$$ y $$V(X(5Y))\\ = V(E(X(5y)|Y=y))+E(V(X(5y)|Y=y)) \\= V(10Y)+E(10Y)$$ Ahora calcúlalo usando tu forma de distribución exponencial. Y su distribución de $Z$ , $$P(Z=z)=\int_{y=0}^\infty P(X(5y)=z|Y=y)f_Y (y)dy$$