Derivación de las funciones de Bessel

Question

Estoy escribiendo un resumen sobre un trabajo de Dinámica de Fluidos que desarrolla estados de flujo irrotacional que parecen interactuar entre sí según las ecuaciones del Electromagnetismo http://arxiv.org/abs/1301.7540

Así pues, comienza con las ecuaciones de Euler de un fluido compresible invisible. Aplica algunas restricciones y luego encuentra una solución. La solución es una función de Bessel:

$$\left.\begin{array}{rcl} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \;+\; (\mathbf{u}.\nabla)\mathbf{u}& \; = \; -\: \dfrac{1}{\rho} \nabla P \\\ \rho(\mathbf{x}, t)& \; \ll \; 1 & \end{array}\right\rbrace$$ $$\Rightarrow \xi =\: \psi_o(t)\: R_{mn}(\mathbf{x}) \;\;: \\\ \begin{cases} \mathrm{Re}(\xi) &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\: \dfrac{\rho}{\rho_o} - 1 \\\ \psi_o &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\; A \: e^{-i\omega_ot} \\\ \displaystyle R_{mn} &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\; \int_{0}^{2\pi} e^{-i(m{\theta}'\,-\,n\phi )}j_m(\kappa_r\sigma)\kappa_rR_o \mathbf{d} \phi \end{cases} $$

Mi objetivo es hacer una demostración paso a paso de su derivación y aprender algunas cosas sobre dicho sistema. Más tarde me gustaría derivar paso a paso cómo dos sistemas de este tipo interactúan entre sí, si es posible. El artículo es bastante árido en cuanto a las derivaciones, ya que supone que éstas son poco interesantes y poco llamativas.

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Actualización 1: Hasta ahora he encontrado derivaciones en línea de la ecuación de Euler y una derivación muy atractiva de las funciones de Bessel con magníficos conocimientos físicos:

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/311/notes/fluids1/fluids11/node10.html

http://physics.ucsc.edu/~josh/116C.07/bessel/node1.html

No puedo aplicar la derivación de Bessel directamente porque parte de la ecuación: $\nabla^2\mathbf{u}(x, y, z) = 0$ . No sé cómo relacionarlo con la ecuación de Euler de la forma $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}.\nabla)\mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla P$ . ¿Alguien sabe cómo se relacionan ambas cosas?

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Actualización 2: Carlo Beenakker señaló que la solución objetivo ignora los efectos del término convectivo de la ecuación de Euler: $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$

Esto se relaciona con el artículo de referencia en el sentido de que el autor hace la suposición de "baja amplitud", es decir $\mathbf{u} \ll 1$

Carlo Beenakker también ha dado una respuesta completa que todavía estoy estudiando. Espero que esté completa pero agradecería que alguien me ayudara. Debería tardar un par de días.

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Antecedentes: No soy un matemático o físico profesional. Sé que la forma adecuada de hacerlo sería tomar un par de semestres y hacer los cursos universitarios adecuados sobre ecuaciones diferenciales, con mucho conocimiento de cálculo, que no tengo. Como mi interés es principalmente en este conjunto específico de ecuaciones y no tengo un tutor o profesor para ayudarme necesitaría algunos puntos sobre lo que sería la forma más rápida de terminar esto de tal manera que las matemáticas son rigurosas.

Espero que alguno de vosotros también tenga interés por este curioso planteamiento. Gracias por su ayuda.

PD: No me importa que el artículo hable de Mecánica Cuántica. No me interesa. (He eliminado las referencias a la QM para evitar malentendidos).

Answer 1

Haré un intento de proporcionar los pasos que buscas para ir "de la ecuación de Euler a la función de Bessel".

Se parte de la ecuación de Euler, que describe la conservación del momento,

$$\rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+\rho\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=-\nabla p$$

y la ecuación de continuidad, que describe la conservación de la masa,

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot(\rho \vec{u})$$

Estas son ecuaciones no lineales, para hacerlas manejables querrás linealizarlas, tanto en la velocidad $\vec{u}$ y en las desviaciones $\delta\rho=\rho-\rho_0$ de la densidad a partir de la densidad uniforme $\rho_0$ . Esta aproximación desecha mucha física interesante (ondas de choque, turbulencia,...), pero sin ella no existe una solución sencilla.

Las ecuaciones linealizadas son las siguientes

$$\rho_0\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-\nabla p$$

$$\frac{\partial\delta\rho}{\partial t}=-\rho_0\nabla\cdot\vec{u}$$

También podemos suponer una relación lineal $p=p_0+C^2\delta\rho$ entre la presión $p$ y las variaciones de densidad. (Se trata de la llamada ecuación de estado adiabática, el coeficiente $C^2$ debe ser positivo para la estabilidad mecánica). Definimos $\xi=\delta\rho/\rho_0$ , toma la divergencia de la primera ecuación y la derivada temporal de la segunda ecuación,

$$\nabla\cdot\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-C^2\nabla^2 \xi$$

$$\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{u}$$

Finalmente, sustituimos la primera ecuación en la segunda, intercambiando el orden de diferenciación con respecto al tiempo y al espacio, para llegar a una ecuación de onda para $\xi$ ,

$$\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=C^2\nabla^2 \xi$$

La cantidad $C>0$ representa la velocidad del sonido.

Buscamos una solución de esta ecuación que sea una función armónica del tiempo, por lo que oscila con frecuencia $\omega$ . En lugar de trabajar con senos o cosenos, es más conveniente utilizar una notación compleja, escribiendo

$$\xi(\vec{r},t)={\rm Re}\;e^{-i\omega t}f(\vec{r})$$

La función compleja $f$ satisface la ecuación de Poisson,

$$C^2\nabla^2 f=-\omega^2 f$$

Busquemos una solución con simetría cilíndrica, así $f(R)$ depende únicamente de la coordenada radial $R=\sqrt{x^2+y^2}$ . La ecuación de Poisson en coordenadas cilíndricas tiene la forma

$$\frac{d^2}{dR^2}f(R)+\frac{1}{R}\frac{d}{dR}f(R)=-(\omega/C)^2f$$

La solución es una función de Bessel

$$f(R)={\rm constant}\times J_0(\omega R/C)$$

La solución completa se convierte así en

$$\delta\rho/\rho_0=A\cos(\omega t+B)J_0(\omega R/C)$$

donde $A$ y $B$ son coeficientes arbitrarios.

Y ya está :)