Dejemos que $X_1, ..., X_n$ sean variables aleatorias independientes con FCD continua $F$ .
$R_1, ..., R_n$ denota las estadísticas de rango correspondientes, es decir $R_i$ es el rango de $X_i$ en las estadísticas de pedidos $X_{(1)} \le ... \le X_{(n)}$ .
Definir $\overline{R}:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}R_i$ y $\overline{i}:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}i$ y por eso $$r:=\frac{\sum_{i=1}^{n}(R_i-\overline{R})(i-\overline{i})}{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-\overline{R}\right)^{2}\sum_{i=1}^{n}\left(i-\overline{i}\right)^{2}}}}.$$
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Encontrar una constante $c_n$ y funciones $f_i$ tal que $$r=1-c_n\sum_{i=1}^{n}f_i(R_i).$$
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Dé una interpretación para los extremos de r.
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Calcula $\mathbb{E}[r]$ y $Var(r)$ .
Ahora supongamos que hay otra observación $Y_1, ..., Y_m$ y $R_i$ , $i=1, ..., n$ ahora denota el rango de $X_i$ en las estadísticas de pedidos de $(X_1, ..., X_n, Y_1, ..., Y_m)$ .
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Calcula $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{n}R_i]$ y $Var(\sum_{i=1}^{n}R_i)$ .
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Dé una interpretación para los extremos de $\sum_{i=1}^{n}R_i$ .
Que yo recuerde, hasta ahora no hemos tratado las estadísticas de los rangos. Recuerdo algo sobre las estadísticas de orden y se supone que esto es una repetición. Pero mi problema comienza con el 1. y básicamente no puedo dar sentido a todo el concepto, por ejemplo, la definición de $r$ .
¿Puede alguien explicarme algunas de estas cosas para poder afrontar los problemas?
[editar] Lo siento, había otro fallo en la fórmula de $r$ .
[editar2] Lo sigo intentando sin éxito. Una cosa que me desconcierta por ejemplo: ¿Cuál es la diferencia entre $\overline{R}$ y $\overline{i}$ ¿de todos modos? Cada índice debería aparecer una vez en las dos sumas, el ordenamiento no es casualidad en la suma, así que deberían ser iguales?