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Cálculo e interpretación de las estadísticas de rango

Dejemos que $X_1, ..., X_n$ sean variables aleatorias independientes con FCD continua $F$ .

$R_1, ..., R_n$ denota las estadísticas de rango correspondientes, es decir $R_i$ es el rango de $X_i$ en las estadísticas de pedidos $X_{(1)} \le ... \le X_{(n)}$ .

Definir $\overline{R}:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}R_i$ y $\overline{i}:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}i$ y por eso $$r:=\frac{\sum_{i=1}^{n}(R_i-\overline{R})(i-\overline{i})}{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-\overline{R}\right)^{2}\sum_{i=1}^{n}\left(i-\overline{i}\right)^{2}}}}.$$

  1. Encontrar una constante $c_n$ y funciones $f_i$ tal que $$r=1-c_n\sum_{i=1}^{n}f_i(R_i).$$

  2. Dé una interpretación para los extremos de r.

  3. Calcula $\mathbb{E}[r]$ y $Var(r)$ .

Ahora supongamos que hay otra observación $Y_1, ..., Y_m$ y $R_i$ , $i=1, ..., n$ ahora denota el rango de $X_i$ en las estadísticas de pedidos de $(X_1, ..., X_n, Y_1, ..., Y_m)$ .

  1. Calcula $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{n}R_i]$ y $Var(\sum_{i=1}^{n}R_i)$ .

  2. Dé una interpretación para los extremos de $\sum_{i=1}^{n}R_i$ .

Que yo recuerde, hasta ahora no hemos tratado las estadísticas de los rangos. Recuerdo algo sobre las estadísticas de orden y se supone que esto es una repetición. Pero mi problema comienza con el 1. y básicamente no puedo dar sentido a todo el concepto, por ejemplo, la definición de $r$ .

¿Puede alguien explicarme algunas de estas cosas para poder afrontar los problemas?

[editar] Lo siento, había otro fallo en la fórmula de $r$ .

[editar2] Lo sigo intentando sin éxito. Una cosa que me desconcierta por ejemplo: ¿Cuál es la diferencia entre $\overline{R}$ y $\overline{i}$ ¿de todos modos? Cada índice debería aparecer una vez en las dos sumas, el ordenamiento no es casualidad en la suma, así que deberían ser iguales?

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Matti Viljanen Puntos 11

Si hubiera un segundo sumando bajo la raíz cuadrada, delante de la (i- \overbar {i})^2, entonces r sería un coeficiente de correlación muestral... ¿Seguro que no has olvidado tal suma?

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Matti Viljanen Puntos 11

Estoy de acuerdo en que la pregunta no es suficientemente explicativa en sus definiciones. Pero sospecho que está relacionada con el coeficiente de correlación de rangos de Spearman entre dos conjuntos de datos $X_i$ , $Y_i$ para el caso de que uno de los conjuntos de datos no sea aleatorio, sino que sea la secuencia natural de etiquetas de identificación $i$ de los propios números, es decir, $X_i=i$ (=orden, determinista) y $Y_i=R_i$ (= rango de $X_i$ al azar). La correlación de rango de Spearman cff. es una correlación de producto-momento de Pearson entre los datos clasificados con la expresión (véase la literatura) $$r=1-\frac{6\sum^n_{i=1}d^2_i}{[n(n^2-1)]}$$ donde $d_i=X_i-Y_i$ . Por lo tanto, en su caso, la pregunta 1 da $$c_n=\frac{6}{n(n^2-1)},~~~f_i(R_i)=(i-R_i)^2.$$ Sin embargo, no sé cómo se deriva teóricamente el resultado de Spearman para llegar a esta expresión; tal vez quieras buscarlo en Internet o en un libro de estadística no paramétrica (sin distribución).

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Matti Viljanen Puntos 11

La pregunta 2 es entonces que el máximo $r$ es $1$ es decir, cuando todos los valores de Spearman $d_i$ son todos cero, lo que corresponde a una muestra en la que todos los $X_i$ área ya en orden numérico ascendente en el orden en que han sido dibujados. Esto es razonable, porque entonces hay una perfecta correlación positiva entre la posición $i$ y el rango $R_i$ , ya que no hay aleatoriedad en esa secuencia para que. El valor mínimo es $r=-1$ cuando todos los $X_i$ están en orden inverso (descendente) (correlación negativa perfecta de $i$ con $R_i$ ).

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Matti Viljanen Puntos 11

Para la pregunta 3: $$E[r] = 1 - c_n E[\sum^n_{i=1} R_i f_i(R_i)] = 1-6/[n(n^2-1)] \sum^n_{i=1} (R_i - 2 R^2_i + R^3_i)$$ y luego utilizar las fórmulas clásicas para las sumas parciales de las series de potencias. Con este resultado $Var(R_i)= E[R^2_i]-(E[R_i])^2$ , donde $E[R^2_i] = \sum^n_{i=1} (R^2_i - 2 R^3_i + R^4_i)$ .

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