¿La pequeña perturbación sigue siendo integrable?

Question

Dejemos que $X \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto no limitado y que $p(x)$ sea una función de densidad de probabilidad sobre $X$ para que $\int_X p(x) dx = 1$ .

Considere $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ y $\phi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que $\phi(\cdot)$ es continua, $\phi(0) = 0$ y $\lim_{|y| \rightarrow \infty} \phi(y) = \infty$ .

$f(\cdot)$ y $\phi(\cdot)$ son tales que

$$ \int_X \phi(f(x)) p(x) dx < \infty $$

Me pregunto si existe $\epsilon \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tal que

$$ \int_X \phi(f(x) + \epsilon) p(x) dx < \infty $$

Answer 1

Así que asumiendo $\epsilon\neq 0$ Creo que lo siguiente rompe esto: Dejemos que $p(x)=\frac{1}{|x|^{|x|+1}\log^2x}$ hasta una constante de normalización. Sea $\phi(x)=|x|^{|x|}$ y $f(x)=x$ . Entonces todo es bonito e integrable en $x=0$ pero para $\epsilon\neq 0$ , necesariamente se perderá la integrabilidad ya sea en 0 o en el infinito.

Edición: Lo siento, todavía tenemos problemas en el 0 para $\epsilon=0$ En otras palabras, la función $\phi(f(x))p(x)$ no es del todo integrable. Espero que esto se pueda corregir cambiando $\phi$ alrededor de 0.