Supongamos que $Z$ es un hiperespacio en la variedad orientada $Y$ como submúltiple de codimensión $1$ . Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes
a) $Z$ es orientable
b) Existe un campo suave de vectores normales $\vec {n}(z)$ a lo largo de $Z$ en $Y$
c) El haz normal $N(Z,Y)$ es trivial
d) $Z$ es globalmente definible por una función independiente; es decir, existe una función suave en una vecindad de $Z$ tal que $^{-1} (0)=Z$ y d es distinto de cero en cada punto de $Z$
Quiero demostrarlos en orden a) => b) =>c) => d) => a)
Para a) => b)
Supongamos que $Z$ es orientable, entonces $Z$ puede recibir una orientación. Cualquier orientación $Z$ inducen una orientación del límite en $\partial Z$ . En cada punto $z\in \partial Z$ , $T_z(\partial Z)$ tiene codim 1 en $T_z(Z)$ . Por lo tanto, hay precisamente 2 univectores en $T_z(Z)$ que son perpendiculares a $T_z(\partial Z)$ . Otra palabra si $h:U\to Z$ es una parametrización local en torno a $z$ , $U$ ser abierto $H^k$ y $h(0)=z$ entonces $(dh_0)^{1}:T_z(Z)\to R^k$ lleva un vector normal unitario a $H^k$ (el interior) y lleva el otro a $-H^k$ (el exterior). La suavidad de la orientación garantiza que existe tal función $h$ por lo que existe un campo suave de vectores normales $\vec {n}(z)$ a lo largo de $Z$ en $Y$
para b) =>c), creo que es algo trivial, no estoy seguro de que deba decir nada sobre esta parte.
En uno de mis ejercicios anteriores he demostrado que $N(Z,Y)$ es trivial si y sólo si existe un conjunto de $k$ función global independiente definida $g_1 , \dots, g_k$ para $Z$ en algún conjunto $U$ en $Y$ . Así que esta tapa c) => d)
No estoy seguro de cómo debería relacionar d) con a).
