Determinar si $\sum_{k=1}^\infty\left(\frac k{k+1}\right)^{k^2}$ converge.

Question

$$\sum_{k=1}^\infty\left(\frac k{k+1}\right)^{k^2}$$

Determina si las siguientes series convergen o no. No estoy seguro de qué prueba utilizar. Estoy bastante seguro de que no puedo utilizar la prueba de proporción. Tal vez la comparación o Kummer, o Raabe. Sin embargo, no estoy seguro de cómo iniciarlo.

Answer 1

Por Prueba de la raíz , $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}=\limsup_{n \to \infty} {\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}}=\limsup_{n \to \infty} {\left({1+\frac{1}{n}}\right)^{-n}}=\frac{1}{e}<1$$

¡Así que su serie converge!

Answer 2

Una pista: $$\left( \frac{k}{k+1} \right)^k \sim e^{-1}$$

Answer 3

$$a_k=\left(\frac k{k+1}\right)^{k^2}\implies \log(a_k)=k^2 \log\left(\frac k{k+1}\right)$$

$$\log(a_{k+1})-\log(a_k)=(k+1)^2 \log \left(\frac{k+1}{k+2}\right)-k^2 \log \left(\frac{k}{k+1}\right)$$ Utilizando expansiones de Taylor para grandes $k$ $$\log(a_{k+1})-\log(a_k)=-1+\frac{1}{3 k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)$$ $$\frac {a_{k+1}}{a_k}=e^{\log(a_{k+1})-\log(a_k)}=\frac 1 e \left(1+\frac{1}{3 k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)\right)\to \frac 1 e$$