¿Cuál es la mediana de la distribución de la relación F no central

Question

Busco una aproximación sencilla a la mediana de la distribución F (simplemente) no central con los parámetros dlnum, dldenominator y ncp, el parámetro de no centralidad. Evidentemente, no hay una expresión de forma cerrada; una aproximación está bien. Gracias.

Answer 1

He aquí una aproximación (en lugar de una respuesta completa, desgraciadamente) para obtener una buena aproximación con una programación tal vez limitada.

Parece que para cualquier valor fijo de los dos parámetros de grados de libertad (llámese $\nu_1$ y $\nu_2$ ), la mediana de la distribución F no central es una función casi lineal de $\lambda$ (el parámetro de no centralidad). Para apoyar esta observación, consideremos el Mathematica código de abajo. (Y por tu perfil veo que usas Mathematica .)

 Manipulate[
 Plot[N[InverseCDF[NoncentralFRatioDistribution[v1, v2, \[Lambda]], 1/2]], 
   {\[Lambda], 0, max\[Lambda]}, 
   PlotLabel -> Style["\[Nu]1=" <> ToString[v1] <> "  \[Nu]2=" <> ToString[v2], Bold, 24], 
   Frame -> True, 
   FrameLabel -> (Style[#, Bold, 18] &) /@ {"Noncentrality parameter (\[Lambda])", "Median"}, 
   ImagePadding -> {{50, 10}, {50, 10}}, 
   PlotRange -> {{0, max\[Lambda]}, {0, 5}}],
 {{v1, 1, "\[Nu]1"}, 1, 100, 1, Appearance -> "Labeled"}, 
 {{v2, 1, "\[Nu]2"}, 1, 100, 1, Appearance -> "Labeled"}, 
 {{max\[Lambda], 20, "Maximum \[Lambda]"}, 1, 100, 1, Appearance -> "Labeled"}, 
 TrackedSymbols :> {v1, v2, max\[Lambda]}]

Si se mueven los controles deslizantes se verá que dado $\nu_1$ y $\nu_2$ la relación sigue siendo bastante lineal. Por lo tanto, parece que se puede generar una cuadrícula de valores para $\nu_1$ , $\nu_2$ y $\lambda$ y luego interpolar/extrapolar donde se desee.

Como alternativa, probablemente se podría crear una función que estimara la pendiente y el intercepto a partir de $\nu_1$ y $\nu_2$ que sería una aproximación mucho más compacta. Dicha función se parecerá a la de la media, que es una función lineal de $\lambda$ :

$$\mu={{\nu_2}\over{\nu_2-2}}+\lambda {{\nu_2}\over{\nu_1(\nu_2-2)}}$$

(al menos para valores grandes de $\nu_1$ y $\nu_2$ ).

Answer 2

¿Por qué codificar uno mismo si existe una función con muchas pruebas?

R :

qf(0.5, 3, 12, 1)

Mathematica :

N[InverseCDF[NoncentralFRatioDistribution[3, 12, 1], 1/2]]

Mi sugerencia sobre el uso de lo que está disponible además de estar bien probado, es que muchos de los algoritmos que encontrarás probablemente funcionarán sólo para valores grandes de los grados de libertad. Así que eso significa múltiples algoritmos dependiendo del tamaño de los grados de libertad. Además, muchos de los algoritmos serán para la función de distribución acumulativa, lo que significa que usted tendrá que hacer una conjetura en cuanto a la mediana y tener una rutina iterativa para fijar eso.

Quizás los mejores lugares para empezar son Abramowitz y Stegun "Handbook of Mathematical Functions" o Johnson y Kotz "Univariate Distributions".