divisores canónicos de una resolución de una singularidad de superficie normal

Question

Dejemos que $(0\in X)$ sea el germen de una singularidad de la superficie normal y sea $f: Y \to X$ sea la resolución mínima.

Preguntas>

(1) ¿Cómo puedo definir un mapa $f_*\mathcal{O}_Y(K_Y)\hookrightarrow \mathcal{O}_X(K_X)$ ?

(2) Si $f_*\mathcal{O}_Y(K_Y)=\mathcal{O}_X(K_X)$ y $K_X$ es Catier, entonces $f^*\mathcal{O}_X(K_X)=\mathcal{O}_Y(K_Y)$ . ¿Por qué?

Answer 1

En lo que respecta a (1), el mapa en cuestión puede describirse en términos más prácticos como sigue. Sea $E = \sum E_i \subset Y$ sea el divisor excepcional de $f$ . Una sección de $f_* \mathcal O_Y(K_Y)$ no es, por definición, más que una sección de $\mathcal O_Y(K_Y)$ que puede restringir a $Y \setminus E$ . Como $f$ se restringe a un isomorfismo $Y \setminus E \to X \setminus \{ 0 \}$ , se obtiene una sección $\sigma$ de $\mathcal O_X(K_X)$ en $X \setminus \{ 0 \}$ . Desde $\mathcal O_X(K_X)$ es reflexivo (como cualquier gajo divisorio de Weil en una variedad normal), se puede extender $\sigma$ a todos los $X$ . Esto define un mapa $f_* \mathcal O_Y(K_Y) \to \mathcal O_X(K_X)$ . (En realidad, esto funciona para variedades normales de dimensión arbitraria).

En cuanto a (2), como señaló Donu, la condición $f_* \mathcal O_Y(K_Y) = \mathcal O_X(K_X)$ equivale a $X$ con singularidades racionales. (Cuidado, esto sólo es válido en dimensión dos. En general se necesita además $X$ para ser Cohen-Macaulay, lo cual es automático para las singularidades de la superficie normal).

Si $f_* \mathcal O_Y(K_Y) = \mathcal O_X(K_X)$ y $K_X$ es Cartier, entonces esencialmente por definición $X$ tiene singularidades canónicas, también conocidas como singularidades Du Val o ADE. Ahora bien, si se escribe la fórmula de ramificación $$ K_Y = f^* K_X + \sum a_i E_i $$ (lo que tiene sentido porque $K_X$ es Cartier), entonces tener singularidades canónicas significa exactamente que todas $a_i \ge 0$ . Por otra parte, dado que $f$ es la resolución mínima, $K_Y$ es $f$ -nef y entonces también lo es $\sum a_i E_i$ . Por el lema de la negatividad, todos los $a_i \le 0$ . Por lo tanto, todos los $a_i = 0$ y $K_Y = f^* K_X$ . (Obviamente esto falla si explotamos $Y$ Además).

Una referencia general para estas cosas es Kollár-Mori, "Birational geometry of Algebraic Varieties", capítulos 4 y 5.