Por favor me ayudan a evaluar esta integral: $$ I={\large\int}_{0}^{\infty}{\ln\left(x\right) \más de 1 + x}\, \,\sqrt{\,x + \sqrt{\,1 + x^{2}\,}\, \más de 1 + x^{2}\,}\,\,{\rm d}x.\tag1 $$ Mathematica no se pudo evaluar en forma cerrada. Una integración numérica devuelto $$I \aprox 4.25314982536869548103063\ldots\,,\tag2$$ pero ni WolframAlpha ni ISC+ podría encontrar una plausible la forma cerrada para esto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Con la ayuda de un CAS llegué a este resultado con sólo una dilogarithm plazo: $$I=\frac{\sqrt[4]2\sqrt{2-\sqrt2}}{16}\\\left\{\left[16\ln2+\left(1+\sqrt2\right)\left(4\pi-16\arctan\sqrt{\sqrt2-1}\right)\right]\ln\left(1+\sqrt2+\sqrt{2+2\sqrt2}\right)\\-\Big(32\left(1+\sqrt2\right)\ln2+4\pi\Big)\arctan\sqrt{\sqrt2-1}-3\pi\arctan\frac{2\sqrt{2+10\sqrt2}}7\\-16\arctan^2\sqrt{\sqrt2-1}+4\ln^2\!\left(1+\sqrt2+\sqrt{2+2\sqrt2}\right)\\+3\pi^2-\frac{32}{\sqrt{2-\sqrt2}}\,\Re\left[\left(-1\right)^{5/8}\operatorname{Li}_2\!\left(2i\left( 1+\sqrt{1+i}\right)\right)\right]\right\}.$$
Actualización: se sugirió en los comentarios de que esta expresión da una numéricamente resultado incorrecto cuando se evaluó con Maple. Aquí es lo que tengo con Maple 18:
Este valor numérico coincide con la integral. También he comprobado con Mathematica 10 y dio el mismo resultado numérico.
SuperAbound
Puntos
3476
\begin{align} -\frac{1}{4}\int^\infty_0\frac{\ln{x}}{1+x}\sqrt{\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}}{\rm d}x y=-\frac{1}{4}\int^\infty_0\frac{\ln{\sinh{x}}}{1+\sinh{x}}e^{x/2}{\rm d}x\\ y=-\frac{1}{2}\int^\infty_1\frac{\ln\left(\frac{x^2-x^{-2}}{2}\right)}{1+\frac{x^2-x^{-2}}{2}}{\rm d}x\\ &=\int^1_0\frac{\ln(1-x^4)-\ln(2x^2)}{x^4-2x^2-1}{\rm d}x\\ \end{align} Para simplificar, vamos a $\displaystyle\frac{1}{x^4-2x^2-1}=\sum^4_{k=1}\frac{c_k}{x-r_k}$. La integral se convierte en $$I=-4\sum^4_{k=1}\int^1_0\frac{c_k\ln(1-x^4)-c_k\ln{2}-2c_k\ln{x}}{x-r_k}{\rm d}x$$ La segunda integral es \begin{align} -c_k\ln{2}\int^1_0\frac{1}{x-r_k}{\rm d}x=-c_k\ln{2}\ln\left(\frac{1-r_k}{-r_k}\right) \end{align} La tercera integral es \begin{align} -2c_k\int^1_0\frac{\ln{x}}{x-r_k}{\rm d}x &=2c_k\int^{1/r_k}_0\frac{\ln(r_kx)}{1-x}{\rm d}x\\ Y=-2c_k{\rm Li}_2\left(\frac{1}{r_k}\right) \end{align} Arrancar estos resultados de nuevo. $$I=4\sum^4_{k=1}c_k\left[\ln{2}\ln\left(\frac{1-r_k}{-r_k}\right)+2{\rm Li}_2\left(\frac{1}{r_k}\right)-\int^1_0\frac{\ln(1-x^4)}{x-r_k}{\rm d}x\right]$$ El resto de la integral es \begin{align} y\ \ \ \ \ \int^1_0\frac{\ln(1-x^4)}{x-r_k}{\rm d}x\\ &=\sum_{j=1,-1,i,-i}\int^1_0\frac{\ln(1+jx)}{x-r_k}{\rm d}x\\ &=-\sum_{j=1,-1,i,-i}\int^{\frac{\lambda}{1-r_k}}_{-\frac{\lambda}{r_k}}\ln\left(1+\frac{j\lambda}{y}+jr_k\right)\frac{{\rm d}y} de{y}\\ &=-\sum_{j=1,-1,i,-i}\int^{\frac{\lambda}{1-r_k}}_{-\frac{\lambda}{r_k}}\left[\ln\left(1+\frac{1+jr_k}{j\lambda}y\right)-\ln\left(\frac{y}{j\lambda}\right)\right]\frac{{\rm d}y} de{y}\\ &=-\sum_{j=1,-1,i,-i}\int^{\frac{1+jr_k}{j-jr_k}}_{-\frac{1+jr_k}{jr_k}}\frac{\ln(1+y)}{y}-\frac{1}{y}\ln\left(\frac{y}{1+jr_k}\right){\rm d}y\\ y=-\sum_{j=1,-1,i,-i}\left[{\rm Li}_2\left(\frac{1+jr_k}{jr_k}\right)-{\rm Li}_2\left(\frac{1+jr_k}{jr_k-j}\right)+\frac{1}{2}\ln^2\left(-jr_k\right)-\frac{1}{2}\ln^2\left(j-jr_k\right)\right] \end{align} Resultado Final: \begin{align} \color\púrpura{\int^\infty_0\frac{\ln{x}}{1+x}\sqrt{\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}}{\rm d}x =4\sum^4_{k=1}c_k\left[\ln{2}\ln\left(\frac{1-r_k}{-r_k}\right)+2{\rm Li}_2\left(\frac{1}{r_k}\right)+\sum_{j=1,-1,i,-i}\left[{\rm Li}_2\left(\frac{1+jr_k}{jr_k}\right)-{\rm Li}_2\left(\frac{1+jr_k}{jr_k-j}\right)+\frac{1}{2}\ln^2\left(-jr_k\right)-\frac{1}{2}\ln^2\left(j-jr_k\right)\right]\right]} \end{align} donde \begin{align} \frac{c_1}{x-r_1}&=\frac{1}{4\sqrt{2+2\sqrt{2}}\left(x-\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)}\\ \frac{c_2}{x-r_2}&=-\frac{1}{4\sqrt{2+2\sqrt{2}}\left(x+\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)}\\ \frac{c_3}{x-r_3}&=-\frac{1}{4\sqrt{2}\left(x+i\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)}\\ \frac{c_4}{x-r_4}&=-\frac{1}{4\sqrt{2}\left(x-i\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)}\\ \end{align}
user153012
Puntos
4406
Bueno, primero que todo: no es fácil responder a esta pregunta, y yo no soy capaz de demostrar la verdad de una forma elegante. Hice el trabajo con Maple sistema de álgebra computacional (CAS).
En esta forma no hay posibilidad de evaulate a la solución, incluso con CAS, así que se transforman en la forma, lo que @Lucian ofrecidos. Deje que $f$ se $$f:=\frac{\ln(\sinh x)}{1+ \sinh x} \cdot e^{x/2}$$
He calculado para que la integral indefinida $\int f(x) \, dx$. Es demasiado tiempo para representar con $\LaTeX$, así que me pegue aquí la raw de Arce de salida:
Después de que me calcula la integral definida de $\int_0^{\infty} f(x) \, dx$. Aquí está la forma cerrada:
Lo que es de 100 dígitos de precisión: $4.253149825368695481030630266176679795147658282 \\ 387249226057297960587772473334190569825379100016048097$
Una buena aproximación para esta integral por ejemplo $$\frac{5}{9} \cdot 3^{4/5} \cdot 5^{2/3} \cdot \ln(3)^{8/9}.$$ El valor de este es de $4.2531498232523271$ que es correcto para $9$ dígitos, y también tiene un sencillo formulario.
Si usted necesita la forma cerrada en texto sin formato puedo pegar aquí. Para una respuesta más precisa creo que tenemos aquí @Cleo o @Tunk-Fey.
