Fórmula integral de Cauchy

Question

¿Cómo puedo aplicar la fórmula integral de Cauchy si dado un contorno, dos puntos singulares están dentro de él? por ejemplo, ¿cómo podría evaluar $\int \frac{dz}{z(z-2)}$ dado $C: z = 3e^{i\theta}$

Answer 1

Por el teorema de Cauchy-Goursat, la deformación continua de un contorno dentro de una región donde el integrando es analítico no cambiará el valor de la integral. Su contorno se deforma en dos círculos, cada uno de los cuales encierra sólo uno de los polos (discontinuidades) del integrando, conectados por un segmento de línea. Ese segmento de línea se recorre una vez hacia atrás y otra hacia delante, por lo que se cancela en la integral. Por tanto, basta con sumar las integrales alrededor de los pequeños círculos que rodean a cada polo. (Este argumento funciona en general cuando estás integrando una función que es holomorfa lejos de un conjunto finito de puntos y no es especial para tu integral particular).

Answer 2

Sólo quiero añadir algo a las soluciones dadas aquí. Por supuesto, es posible utilizar el teorema del residuo para la solución, pero también se puede hacer directamente utilizando CIT.

Al principio hay que hacer un fraccionamiento parcial con $f(z)=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-2}$ . $A$ y $B$ son los residuos de $f$ en $z=0$ y $z=2$ (también puedes comparar los coeficientes). Se obtiene $A=-\frac{1}{2}$ y $B=\frac{1}{2}$ . El fraccionamiento parcial de $f$ es ahora $f(z)=\frac{-\frac{1}{2}}{z}+\frac{\frac{1}{2}}{z-2}$ .

Utilizando el CIT, usted tiene $f(a)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z$ . El contorno $C$ consiste en cada polo para poder sumar los valores de las integrales separadas devueltas por el CIT. Para utilizar el CIT sólo tienes que elegir la función del numerador, para la primera fracción $f(z)=-\frac{1}{2}$ . Ahora está claro que $f(a)=f(0)=-\frac{1}{2}$ . Multiplicando $f(0)$ por $2\pi\mathrm{i}$ se obtiene el valor de la integral de contorno.

El resultado es cero, debido a $2\pi\mathrm{i}(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=0$ . Este es, por supuesto, el mismo valor que se puede obtener aplicando el teorema del residuo.

Answer 3

Toma pequeños círculos alrededor de cada uno de los polos, aplica CIT a cada uno de estos y suma...

Tenga en cuenta que cuando se une el contorno exterior $\,C:=\{z\in\Bbb C\;;\;|z|=3\}\,$ con estos pequeños contornos alrededor de los polos, las integrales en las líneas de unión desaparecen (una vez en una dirección en En la otra dirección fuera !) , por lo que al final obtienes tu integral en tu contorno deseado.

La solución aquí es

$$2\pi i\left(Res_{z=0}(f)+Res_{z=2}(f)\right)\;\;,\;\;\text{with}\;\;\;f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$$