Derivación de la ecuación del movimiento de un péndulo a partir de la conservación de la energía

Question

La energía cinética de un péndulo simple es: $$K=\frac{1}{2}mL^2(\frac{d\theta}{dt})^2$$

La energía potencial del péndulo es: $$U=mgL(1-cos\theta)$$

La energía total del péndulo es por tanto $$E=K+U=K=\frac{1}{2}mL^2(\frac{d\theta}{dt})^2+mgL(1-cos\theta)$$

Por lo tanto, la energía total del sistema es constante: $$\frac{dE}{dt}=0$$

Se me da a entender que tomando la derivada de la energía total con respecto a $t$ debería permitirme reajustar la ecuación del movimiento de un péndulo, $$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}sin\theta=0$$

pero no veo cómo. Tomando la derivada de la tercera ecuación se obtiene $0$ que no es muy útil. ¿Me falta algo?

Answer 1

De su tercera ecuación $$E=K+U=K=\frac{1}{2}mL^2(\frac{d\theta}{dt})^2+mgL(1-\cos\theta)$$ después de la derivación con respecto a $t$ se convierte en $$0=mL^2\frac{d\theta}{dt}\frac{d^2\theta}{dt^2}+mgL\sin\theta\frac{d\theta}{dt}$$ y se divide por $mL^2\frac{d\theta}{dt}$ puedes conseguir lo que quieres.