Desigualdad integral que implica la derivada

Question

Dejemos que $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función diferenciable con derivada continua y $\int_0^1 f(x) dx=\int_0^1 x f(x) dx=1$ . Demostrar que $\int_0^1 |f'(x)|^3 dx \ge \left(\frac{128}{3\pi}\right)^2$

Mi intento es escribir $f$ en términos de los polinomios de Legendre desplazados $\tilde{L}_n(x)=L_n(2x-1)$ como $$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\,\tilde{L}_n(x), $$ Las dos condiciones sobre $f$ da $a_0=1$ y $a_1=3$ . Pero no encontré la manera de conseguir la desigualdad dada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\int_0^1 x(1-x) f'(x) dx=\left[x(1-x) f(x)\right]_0^1-\int_0^1 (x-x^2)' f(x) dx\\=0-\int_0^1 f(x) dx+2\int_0^1 xf(x) dx=-1+2=1.$$ Por lo tanto, por la desigualdad de Holder, $$1=\int_0^1 x(1-x) f'(x) dx\leq \left(\int_0^1 (x(1-x))^{3/2}dx\right)^{2/3} \left(\int_0^1 |f'(x)|^3 dx\right)^{1/3}.$$ Finalmente $$\int_0^1 |f'(x)|^3 dx\geq \left(\int_0^1 (x(1-x))^{3/2}dx\right)^{-2}= B(5/2,5/2)^{-2}=\left(\frac{\Gamma(5)}{\Gamma(5/2)^2}\right)^{2} =\left(\frac{128}{3\pi}\right)^{2}$$ donde $B(x,y)$ es el Función beta .