¿Los operadores que admiten expansiones espectrales no normales tienen eigenvectores no básicos?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Hilbert y $A:X\rightarrow X$ sea un operador que admite una base no ortonormal $\{e_j\}_{j=0}^\infty$ de vectores propios. ¿Es cierto que si $Ax = \lambda x, \ x \in X$ entonces $x$ es un elemento de $\{e_j\}_{j=0}^\infty$ ?

(Hasta donde yo sé, el teorema espectral no se aplica a una base no ortonormal, aunque puedo estar equivocado).

Creo que la respuesta es "Sí", pero mi prueba es bastante larga. Parece que este sería un resultado bastante estándar si es cierto.

Answer 1

Con tu definición de base del comentario (es decir, una base de Schauder), la respuesta es trivial para el caso en que cada $e_j$ es un vector propio para un valor propio diferente $\lambda_j$ . De hecho, para un $k$ la igualdad $Ax=\lambda_k x$ lee $$ \sum_j x_j \lambda_j e_j=\sum_j x_j\lambda_k e_j. $$ Por la unicidad de la representación la igualdad anterior obliga a $x_j\lambda_j=x_j\lambda_k$ para cada $j$ Así pues, si $j\ne k$ y $\lambda_j\ne\lambda_k$ obtenemos $x_j=0$ . Así, $x=x_ke_k$ (no se pueden evitar los múltiplos, ya que un múltiplo de un vector propio es un vector propio).