¿Tiene esta restricción de conjuntos de potencias en ZF un ordinal teórico de prueba?

Question

Si añadimos al lenguaje de la teoría de conjuntos un símbolo de función total de un lugar $\mathcal P$ para el operador powerset, y luego añadir a ZF-Power los siguientes axiomas:

Poder: si $\phi$ es una fórmula en la que sólo el símbolo $y$ se produce libre, entonces: $$ X \subseteq A \land X=\{ y \mid \phi\} \to X\in \mathcal P(A) $$

Contabilidad: $\forall X: X \text { is countable }$

¿Es esta teoría interpretable en la teoría de conjuntos de Kripke-Platek (con Infinito)?

Si no, ¿constituiría un subsistema de aritmética de segundo orden? En caso afirmativo, ¿cuál sería su ordinal teórico de la prueba?

Answer 1

Su teoría interpreta $\mathsf{ZF}^-$ . De hecho, $\mathsf{ZF}-$ (A saber, $\mathsf{ZF}$ sin Powerset) interpreta $\mathsf{ZF}^-+(V=L)$ . Responde negativamente a sus preguntas ya que la fuerza teórica de la prueba de $\mathsf{ZF}^-+(V=L)$ es el de la Aritmética Completa de Segundo Orden.

La razón es que podemos construir $L$ de $\mathsf{ZF}-$ . Tenemos que comprobar si $\mathsf{ZF-}$ demuestra la recursividad transfinita, pero se pueden comprobar las pruebas en los libros de texto estándar (como Jech o Kunen) funcionan. Además, podemos definir $\operatorname{Def}(X)$ mediante el uso de la sustitución.

Trabajar en $L$ podemos ver que $L$ tiene una función de rango natural dada por la $L$ -Herarquía. De ahí que $L$ satisface su propia versión del principio de reflexión. Podemos ver que $L$ satisface $\mathsf{ZF}^-$ utilizando el principio de reflexión en $L$ .