¿Cómo es que $p | (a^2 + b^2)$ fuerza $p | b^2$

Question

Tengo una pregunta que dice:

si $p | a$ y $p|(a^2+b^2)$ entonces $p | b$ .

En el menú de soluciones se lee:

desde $p|a$ , $p|a^2$ . Ahora $p|a^2$ y $p|(a^2+b^2)$ fuerzas $p|b^2$ . podemos concluir que $p|b$ . Sinceramente, no tengo ni idea de cómo $p|(a^2+b^2)$ puede darle $p|b^2$ .

Answer 1

$p|a^2$ significa que existe un número entero $n$ tal que $np=a^2$ . De la misma manera, $p|(a^2+b^2)$ significa que existe un número entero $m$ tal que $mp=a^2+b^2$ . Si se restan los dos, se obtiene $(m-n)p = b^2$ .

Answer 2

Recordemos que si $p \mid x$ y $p \mid y$ entonces $p \mid x-y$ . Así que

$$p \mid a^2+b^2-a^2=b^2$$

Answer 3

$p|a$ equivale a $a \equiv 0 \mod p$

si $a^2+b^2 \equiv 0 \mod p$ y $a \equiv 0 \mod p$ entonces $a^2 \equiv 0 \mod p$ por lo que $b^2 \equiv 0 \mod p$ así que $b \equiv 0 \mod p$ .