Una prueba de una propiedad de los límites de

Question

El día de hoy durante la conferencia de mi profesor nos mostró esta propiedad, pero no aportó ninguna prueba.

Si $$\lim_{n\to\infty} {d_{n+1}\over d_n} >1$$ then $$\lim_{n\to\infty}d_{n}=\infty $$

Es esta propiedad de fiar? (no sería una falta de respeto a mi profesor, pero él tiende a hacer un montón de errores)

Y si es así, ¿cuál es la lógica detrás de esa propiedad? ¿Cómo se comportan cuando el primer límite tiende a 1 o menor que 1?

Answer 1

Creen que esto es una secuencia positiva. (Usted podría tener $\lim_{n\to \infty} d_n = -\infty$). Hay un $M$ $\delta > 0$ tal que para $n\geq M$ $$ d_{n+1}/d_n > 1 + \delta = a > 1. $$ Que es: $$ d_{n+1} > ad_n. $$ Así que para $n> M$: $$d_n > ad_{n-1} > a^2d_{n-2}... > a^{n-M}d_M.$$ Now let $n\to \infty$

Answer 2

Ya tenemos $\lim_{n \to \infty } d_{n+1}/d_n > 1$,

Veamos $ \delta = \min \{ d_{n+1} - d_n: n\ge N \text{ for some N }\in \mathbb N\}$, luego tenemos a $ \lim_{n \to \infty} d_n > \lim_{n \to \infty} d_N + n\delta$ que diverge a $\infty $.

Answer 3

Si $\lim_{n\to\infty}\frac{d_{n+1}}{d_n}>1$, entonces para que hay un $\epsilon>0$ $N\in\mathbb{N}$ tal que $n>N$ implica $\frac{d_{n+1}}{d_n}>1+\epsilon\implies e^{d_{n+1}-d_{n}}>e^{0+\epsilon^\prime}\implies |d_{n+1}-d_n|>\epsilon^\prime $. Entonces $$ \lim_{n\to\infty}|d_{n+1}-d_n|>\epsilon^\prime $$ Pero esto se contradice con el criterio de convergencia de las secuencias de cauchy.

Answer 4

Si la secuencia converge $d_n\to L$, luego, eventualmente, sus términos deben ser casi todas de la misma, por lo que sus proporciones deben acercarse $1$. (Me voy a quitar importancia a lo que sucede si $L = 0,$ por el camino: esto es sólo intuición.)

Answer 5

Desde el límite de los cocientes es mayor que 1, eventualmente, todos los términos tienen el mismo signo. Si el signo es negativo, $d_n \to - \infty.$ Por ejemplo, considere el$d_n=-(2^n)$, $d_{n+1}/d_n=2,$ una constante, haciendo que el límite de 2, según sea necesario, sin embargo, los términos enfoque de $- \infty$ en lugar de $\infty$.

Si los términos son finalmente positiva la conclusión de la siguiente manera, ya que si el límite es de $a>1$ podemos optar $c>1$ también $c<a$ y, finalmente, para $n \ge N$ tendremos

[1] $d_N>0$

[2] $d_{N+k}>c^k\ d_N$

(donde [2] se demuestra por inducción). Entonces a partir de la $c^k \to \infty$ tenemos que $d_n$ enfoques infinito.