Recientemente he comenzado mi primer curso de análisis real, y estamos estudiando los espacios métricos de los Principios del Análisis Matemático de Rudin (Baby Rudin).
Tenemos la siguiente definición:
Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico, y $A \subset X$ . Un punto $p \in A$ se dice que está aislado si $p$ no es un punto límite de $A$ . Además, $A$ se dice que es discreto si todos sus puntos están aislados.
Ahora, considere $\mathbb{R}^{n}$ con la métrica habitual $d(x,y)=|x-y|$ . Demostrar que si $A \subset \mathbb{R}^{n}$ es discreto, entonces es a lo sumo contable.
Lo que tenía en mente era algo parecido a:
Como sabemos que para cada $p \in A$ existen algunos $r \in \mathbb{R}$ tal que $B_{r}(p) \cap A = \left \{ p \right \}$ . Podemos encontrar algunos racionales $q$ con $0<q<r$ y aislar $p$ con la bola de radio $q$ . A continuación, definimos una función que asigna a cada $p$ dijo $q$ . Si dicha función fuera inyectiva, habríamos terminado, pero no sé cómo hacerlo, ya que todos los puntos de $A$ podría muy bien ser aislado por un número finito de reales diferentes $r$ .
¿Alguna idea? Gracias de antemano.
P.D.: Ya he demostrado anteriormente que un conjunto discreto $A \subset \mathbb{R}^{n}$ es compacto si y sólo si es finito. Pero no se le ocurrió ninguna forma útil de aplicar esto al problema en cuestión.
