Demostrar que la traza de una curva plana es simétrica respecto a su vector normal en $s=0$

Question

Dejemos que $b >0$ y $\alpha : (-a, a) \rightarrow \mathbb{R^2}$ sea una curva plana parametrizada por la longitud de arco. Supongamos que: $$k(s) = k(-s) \quad \forall s \in (-a,a)$$ donde $k(s)$ denota la curvatura de $\alpha$ en el punto $s$ . Demuestre que la traza de $\alpha$ es simétrica con respecto a la línea normal de $\alpha$ en $0$ .

Mi intento

Denoto por $\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ la función que toma un punto $b$ a su simetría con respecto a $\alpha(0) + L(N_{\alpha}(0))$ (línea normal en cero). Luego defino la curva $\beta(s)=\phi(\alpha(-s))$ y mi intento es demostrar que $\beta=\alpha$ .

Sé que $\beta(0)=\alpha(0)$ Así que traté de mostrar que las curvas tienen las mismas curvaturas $K_{\alpha}=K_{\beta}$ y las mismas tangentes a cero $T_{\alpha}(0)=T_{\beta}(0)$ pero no sé cómo mostrarlo.

Answer 1

Su enfoque parece genial. Por lo tanto, si se diferencia con cuidado y correctamente con la regla de la cadena, debe encontrar exactamente eso. (Si tomamos $\alpha(0)=0$ entonces $\phi$ será lineal, por lo que $(\phi\circ\gamma)'(s) = \phi(\gamma'(s))$ .) Debería obtener $$\beta'(s) = -\phi(T_\alpha(-s)) \quad\text{and}\quad \beta''(s) = \kappa(s)\phi(N_\alpha(-s)).$$ Así que tenemos $T_\beta(0)=-\phi(T_\alpha(0)) = T_\alpha(0)$ y $\kappa_\beta=\kappa_\alpha$ (¿por qué?).