¿Es correcta mi idea? "Demostrar que $(T-5I)^{n-1} (T-6I)^{n-1} = 0$ "

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial complejo. Supongamos que $T$ está en $L(V)$ tal que 5 y 6 son valores propios de $T$ y que $T$ no tiene otros valores propios.

Demostrar que $(T-5I)^{n-1} (T-6I)^{n-1}= 0$

Mi proceso de pensamiento es el siguiente: para que lo anterior se cumpla, el polinomio debe ser un múltiplo del polinomio característico de $T.$

El polinomio característico de T es de la forma $(z-5)^m (z-6)^k$ , donde $m+k=n$

Como $m,k > 1$ el valor más alto que puede tomar cualquiera de ellos es $n-1.$

Por lo tanto, $(T-5I)^{n-1}(T-6I)^{n-1}$ es un múltiplo del polinomio característico y por tanto es igual a 0.

Siento que esta prueba es también directa y que podría estar haciendo algunas suposiciones infundadas. Se agradece cualquier comentario.

Answer 1

Suponiendo que $n=\dim V$ entonces tu argumento funciona. Sin embargo, tenga cuidado; es suficiente pero no necesario que $(z-5I)^{n-1}(z-6I)^{n-1}$ es un múltiplo del polinomio característico de $T$ .

Una condición necesaria y suficiente es que $(z-5I)^{n-1}(z-6I)^{n-1}$ es un múltiplo del mínimo polinomio de $T$ . Por Cayley-Hamilton el polinomio característico es un múltiplo del polinomio mínimo, por lo que también es suficiente para $(z-5I)^{n-1}(z-6I)^{n-1}$ para ser un múltiplo del polinomio característico.