Es $sat(I)$ ¿siempre un cardenal normal?

Question

Dejemos que $I$ sea un ideal y que $I^+$ denotan su complemento (el llamado $I$ -conjuntos positivos). Ahora decimos que $I$ es $\lambda$ -saturado si cada anticadena en $I^+$ tiene un tamaño inferior a $\lambda$ . Más información: $sat(I)$ es el menos cardinal $\kappa$ tal que $I$ es $\kappa$ -saturado.

Se puede demostrar que si $sat(I)$ es infinito entonces tiene que ser incontable. Creo que un argumento similar nos da que $sat(I)$ es un cardinal regular, siempre que $I$ es un $\kappa$ -completo ideal en $\kappa$ .

Mi pregunta ahora es: ¿Necesitamos el $\kappa$ -completo de $I$ o es $sat(I)$ siempre un cardenal regular, no importa si $I$ es $\kappa$ -completo o no.

Answer 1

No es necesario el $\kappa$ -completo de $I$ . De hecho, lo siguiente es válido para un orden parcial arbitrario y es el ejercicio F4 del capítulo VII del libro de Kunen Set Theory: an Introduction to Independence Proofs.

Teorema. (Tarski) Sea $\mathbb{P}$ sea un poset, y sea $\kappa$ sea el menor cardinal para el que $\mathbb{P}$ no tiene ninguna anticadena de tamaño $\kappa.$ Entonces $\kappa$ es un cardenal regular.

Aquí consideramos elementos $p,q$ de $\mathbb{P}$ incompatible si no hay $r\leq p,q$ . Así que $sat(I)=\kappa$ para la orden parcial en $I^+$ ordenado por $\subseteq$ .

Answer 2

Si $I$ es un ideal en un conjunto $X$ la saturación de $I$ es la saturación del álgebra booleana $\mathbb{B} = \mathcal{P}(X)/I$ . Sea $\mathbb{B}'$ sea la terminación de $\mathbb{B}$ . La terminación tiene claramente todas las anticanciones del álgebra original, por lo que su saturación sólo puede ser mayor. Pero supongamos $\mathbb{B}'$ tiene una anticadena $W'$ más grande que cualquiera de las que $\mathbb{B}$ tiene. Desde $\mathbb{B}$ es denso en $\mathbb{B}'$ podemos obtener fácilmente de $W'$ una anticadena $W \subset \mathbb{B}$ con $|W'| = |W|$ , contradicción. ( $W$ se obtiene tomando, para cada elemento de $W'$ un elemento no nulo de $\mathbb{B}$ por debajo de ese elemento - tales elementos existen por la densidad de $\mathbb{B}$ en $\mathbb{B}'$ ).