Orden de un subgrupo H en un grupo multiplicativo.

Question

Dejemos que $G$ sea el grupo de todos los $2 \times 2$ matrices $\left(\begin{array}{c c}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ donde $ad-bc \ne 0$ y $a,b,c,d$ son números enteros módulo 3, relativos a la multiplicación de matrices. Demuestre que $o(G) = 48$ . Ahora, si modificamos el ejemplo de G insistiendo en que el determinante = 1; entonces ¿qué es |G|?

He leído una solución que dice que como este subgrupo H de determinante 1 tiene índice 2 (*), el orden de este subgrupo es 24 . Pero estoy un poco confundido

(*) ¿Por qué este subgrupo H tiene índice 2? ¿Porque 1H forma un coset que pertenece a G? Pero cualquier otro subgrupo también lo forma, ¿no?

Answer 1

Una matriz invertible con entradas enteras tiene un determinante que es un elemento invertible de $\mathbb Z$ es decir, pertenece a $L=\{-1,1\}$ . Ahora, el determinante es un homomorfismo de grupo $\varphi$ entre $G$ y el grupo $(L, \cdot)$ . Según el primer teorema del homomorfismo de grupo, $\varphi$ induce un isomorfismo entre $G/H$ y $L$ donde $H$ es el núcleo de $\varphi$ .

Por lo tanto, $H$ es un subgrupo de índice $2$ en $G$ como el orden de $L$ es igual a dos.