Cómo $x^2$ aumenta en $x+\frac{1}{x}$ ?

Question

En un ejemplo, mientras explicaba la "hipótesis" y la "conclusión", me confundí.

El ejemplo es el siguiente: Si $x\geq 4$ entonces $2^x \geq x^2$ .

Al derivar la conclusión del artículo dijo "Como $x$ crece más que $4$ , LHS $2^x$ se duplica como $x$ aumenta en $1$ y el RHS crece en proporción $x+\frac{1}{x}$ ".

Gracias de antemano

Answer 1

Lo más importante es que la RHS crece en menos de un factor de dos si $x\ge4$ es decir $(x+1)^2<2\cdot x^2$ puede verse alternativamente desde $$ (x+1)^2=x^2+2x+\underbrace{1}_{<x}<x^2+\underbrace{3}_{<x}x<x^2+x^2=2x^2$$ (cuando se hace uso de $1<x$ y $3<x$ parece muy derrochador, pero no necesitamos nada mejor) o de $$ 2x^2-(x+1)^2=x^2-2x-1=(x-1)^2-2\ge3^2-2= 7.$$