¿la cuantificación de este hamiltoniano?

Question

Sea el Hamiltoniano $ H=f(xp) $ si consideramos la cuantificación canónica así que

$ f( -ix \frac{d}{dx}-\frac{i}{2})\phi(x)= E_{n} \phi(x)$

aquí 'f' es una función de valor real por lo que creo que $ f(xp) $ es un operador hermitiano, sin embargo

¿Cómo puedo resolver para una 'f' genérica la ecuación anterior? En el caso de que 'f' sea un POlynomio no tengo ningún problema para resolverla, lo mismo en el caso de que f sea un exponencial, pero para una 'f' genérica ¿cómo podría utilizar la teoría de operadores para obtener el espectro de valores propios?

Answer 1

$xp$ no es hermético, sino que $(xp+px)/2$ es. Por lo tanto, es necesario utilizar este último como argumento.

Para resolver la ecuación de Schroedinger independiente del tiempoe, primero hay que resolverla para $H=(xp+px)/2$ , y observe que los vectores propios no cambian al tomar una función de este operador.

Answer 2

Este es un comentario más largo...

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Es la primera $f$ lo mismo que el segundo, es decir, dónde está el $-\frac{i}{2}$ ¿de dónde viene? $\frac{1}{2}$ ? ¿Es la función de la segunda expresión desplazada por este número / proviene de la permutación $X$ y $P$ ? Es $p=-i\frac{\text{d}}{\text{d}x}$ ? ¿Qué hace el verdadero valorado ¿se refiere a la función aquí?

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Hace $$\left(x\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right)^n x^m =\left(x\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right)^{n-1} (x\ m\ x^{m-1}) =m\left(x\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right)^{n-1} x^m =m^n x^m$$ ¿ayuda?

Dejemos que $B=x\frac{\text{d}}{\text{d}x}$ para que $B^nx^m=m^n x^m$ y considerar $H$ en la forma $\beta(B)=\sum_n b_n B^n$ . Reúne todos los poderes de $-\frac{i}{2}$ en $b_0$ y observe que los poderes reales pares $(-\frac{i}{2})^{2N}\phi(x)=\pm\frac{1}{4^N}\phi(x)$ son simplemente cambios de energía en su ecuación.

Entonces

$$H\phi(x)=\left(\sum_n b_n B^n\right)\left(\sum_m\varphi_mx^m\right)=\sum_m\left(\sum_nb_nm^n\right)\varphi_mx^m=\sum_m\beta(m)\varphi_mx^m.$$

Por ejemplo, para $\phi(x)=Cx^k$ , integrable en una caja, se encuentra $H\phi(x)=\beta(k)\phi(x)$ .

Si $\beta$ es periódico, por ejemplo $\beta(2)=\beta(5)$ , entonces hay otras soluciones como $\phi(x)=C_1x^2+C_2x^5$ también.