Evaluación de $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} - e + \frac{1}{2}ex}{x^2}$ sin expansiones en los límites

Question

Evaluar $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} - e + \frac{1}{2}ex}{x^2}$

Una forma que se me ocurre inmediatamente es ampliar cada uno de los términos y resolver como, $$(1+x)^{1/x} = e^{\log_e (1+x)^{1/x}} = e^{\frac{1}{x} (x-\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3}+...)}$$ y luego, después de la expansión completa de todos y cada uno y la sustitución en la parte posterior al límite y la solución que obtengo $\frac{11e}{24}$ como respuesta.

Ahora bien, este es un camino relativamente largo y complicado de resolver como puedes ver. Quiero saber si hay una manera más fácil de resolver este problema. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Escribe $f(x) = \frac{1}{x}\log(1+x)$ y $f(0) = 1$ . Sabemos que $f$ tan definida es la analítica cerca $0$ . Ahora, por la regla de L'Hospital aplicada dos veces,

\begin{align*} \lim_{x\to0} \frac{e^{f(x)} - e + \frac{e}{2}x}{x^2} &= \lim_{x\to0} \frac{e^{f(x)}f'(x) + \frac{e}{2}}{2x} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{e^{f(x)}f''(x) + e^{f(x)}f'(x)^2}{2} \\ &= \frac{e}{2}f''(0) + \frac{e}{2}f'(0)^2. \end{align*}

Desde $ f(x) = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + \cdots $ cerca de $0$ se deduce que $f'(0) = -\frac{1}{2}$ y $f''(0) = \frac{2}{3}$ . Por lo tanto, el límite es igual a

$$ \frac{e}{2}\cdot\frac{2}{3} + \frac{e}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{11}{24}e. $$

Answer 2

Si se me permite sugerir, el problema de $$y=\frac{(1+x)^{\frac1 x} - e + \frac{1}{2}ex}{x^2}$$ no es tan difícil si se utiliza otra forma. $$a=(1+x)^{\frac1 x}\implies \log(a)= {\frac1 x}\log(1+x)$$ $$ \log(a)={\frac1 x}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+O\left(x^5\right) \right)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+O\left(x^4\right)$$ Ahora, continuando con Taylor $$a=e^{\log(a)}=e-\frac{e x}{2}+\frac{11 e x^2}{24}-\frac{7 e x^3}{16}+O\left(x^4\right)$$ $$y=\frac{\frac{11 e x^2}{24}-\frac{7 e x^3}{16}+O\left(x^4\right) }{x^2}=\frac{11 e}{24}-\frac{7 e x}{16}+O\left(x^2\right)$$ que da no sólo el límite sino también la forma de abordarlo.

Answer 3

Solución sin expansiones sólo por la regla de L'Hospital: $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^{1/x} - e + \frac{1}{2}ex}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)'+\frac{1}{2}e}{2x}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}+\frac{1}{2}e}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}\right)'}{2}$$ porque $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}=e\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2+x^3}=$$ $$=e\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\ln(1+x)-1}{2x+3x^2}=-\frac{e}{2}$$ y podemos continuar: $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}\right)'}{2}=$$ $$=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)^2}{x^2}+(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x}\right)}{x^2}-\frac{2}{x^3}(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)\right)=$$ $$=\frac{e}{2}\lim_{x\rightarrow}\left(\frac{\frac{\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)^2}{x^2}-\frac{x}{(1+x)^2}}{x^2}-\frac{2}{x^3}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)\right)=$$ $$=\frac{e}{2}\lim_{x\rightarrow0}\left(-\frac{3x+1}{x^2(1+x)^2}+\frac{2\ln(1+x)}{(1+x)x^2}+\frac{\ln^2(1+x)}{x^4}\right)=$$ $$=\frac{e}{2}\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^2\ln^2(1+x)+(2x^3+2x^2)\ln(1+x)-3x^3-x^2}{x^4}=...=\frac{11e}{24}.$$