Integrabilidad de $f(x, y) = \frac{1}{n^2}, x \in \left(\frac{1}{n + 1}, \frac1n\right], y \in [0, 1]$

Question

Dejemos que $f : [0, 1]^2 \to \mathbb{R}$ sea la función escalonada

$$f(x, y) = \frac{1}{n^2}, \quad x \in \left(\frac{1}{n + 1}, \frac1n\right], \quad y \in [0, 1].$$

Necesito demostrar que $f$ es integrable.

Siento mi falta de esfuerzo pero es que no sé por dónde empezar. Para una función de una sola variable, la función debe tener un número finito de discontinuidades y debe estar acotada en el intervalo de integración para que sea integrable de Riemann en ese intervalo. ¿Siguen siendo válidas estas condiciones para una función de $2$ ¿Variables? También me confunde la expresión de la función. La variable $y$ toma valores en $[0,1]$ pero la función $f$ sólo depende de $n$ .

Answer 1

Hay que demostrar que la integral de Riemann inferior es igual a la integral de Riemann superior. Considera una partición $\mathcal{P}$ de $[0,1]^2$ en rectángulos $R_1, \ldots, R_m$ . Entonces la suma inferior sobre esta partición es
$$L(f,\mathcal{P}):=\sum_{i=1}^m \inf_{R_i}f \text { meas}(R_i)$$ y la integral de Riemann inferior es el sumo de $L(f,\mathcal{P})$ sobre todas las particiones $\mathcal{P}$ . La suma superior sobre una partición es
$$U(f,\mathcal{P}):=\sum_{i=1}^m \sup_{R_i}f \text { meas}(R_i)$$ y la integral superior de Riemann es el ínfimo de $U(f,\mathcal{P})$ sobre todas las particiones $\mathcal{P}$ . Ahora arregla $\varepsilon>0$ . Desde $\frac{1}{n^2}\to 0$ como $n\to\infty$ puedes encontrar $n_\varepsilon$ tal que $\frac{1}{n^2}\le \varepsilon$ para todos $n\ge n_\varepsilon$ .
Tome la partición $\mathcal{P}_\varepsilon$ dado por $[0,\frac{1}{n_\varepsilon}]\times [0,1]$ , $(\frac{1}{n_\varepsilon},\frac{1}{n_\varepsilon-1}]\times [0,1]$ , $\dots$ , $(\frac{1}{2},1]\times [0,1]$ . En $R_1=[0,\frac{1}{n_\varepsilon}]\times [0,1]$ tienes que $\inf_{R_1} f=0$ (ya que $\frac{1}{n^2}\to 0$ como $n\to\infty$ ), mientras que $\sup_{R_1} f\le \varepsilon$ por la elección de $n_\varepsilon$ . En todos los demás rectángulos $R_i$ que son de la forma $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]\times [0,1]$ tienes que $\sup_{R_i} f=\inf_{R_i} f=\frac1{n^2}$ . Así, $$L(f,\mathcal{P}_\varepsilon)\le \text{lower integral}\le \text{upper integral}\le U(f,\mathcal{P}_\varepsilon),$$ lo que implica que $$\begin{align}0\le \text{upper integral}-\text{lower integral} \le U(f,\mathcal{P}_\varepsilon)-L(f,\mathcal{P}_\varepsilon)\\= (\sup_{R_1}f -\inf_{R_1}f )\text { meas}(R_1) \le \varepsilon.\end{align}$$ Ahora puede enviar $\varepsilon$ a cero. Así que la función es integrable.

PD: En lugar de jugar con la altura de la función podrías haber jugado con la medida de los rectángulos, es decir, hacer $\text { meas}(R_1)\le \varepsilon$ y luego utilizar el hecho de que $(\sup_{R_1}f -\inf_{R_1}f )\le 1-0$ .

Answer 2

La definición puede leerse como sigue: Dado $(x,y)\in[0,1]^2$ , encontrar el $n\in\mathbb N$ tal que $x\in\left(\frac1{n+1},\frac1n\right]$ y $y\in[0,1]$ y, a continuación, establecer $f(x,y)=\frac1{n^2}$ . Por lo tanto, ya que $y\in[0,1]$ siempre es válida para $(x,y)\in[0,1]^2$ la función no depende realmente de $y$ .

Sin embargo, no existe tal $n\in\mathbb N$ para $x=0$ por lo que primero habría que definir $f$ para este caso por separado. Por ejemplo, podríamos considerar el caso $f(x,y)=0$ para $x=0$ .

Como ha señalado Florence, una función en un intervalo acotado no necesita tener sólo un número finito de discontinuidades para ser integrable en Riemann.

Para las funciones en $[0,1]^2$ No estoy seguro de cuál es la definición común de integrabilidad de Riemann. Lo que se podría pensar es que para cada $x\in[0,1]$ la integral de Riemann adecuada $g(x)=\int_0^1f(x,y)\mathrm dy$ existe y que la integral de Riemann propia $\int_0^1g(x)\mathrm dx$ existe. Tal vez pueda comprobar esto para su función $f$ .