Demostrar que $X\mapsto CX$ define un functor $Top\to Top$

Question

Demostrar que $X\mapsto CX$ define un functor $Top\to Top$ (definiendo el comportamiento sobre los morfismos). Sugerencia: utilice el ejercicio 1.11.

Ejercicio 1.11. Sea $X$ y $Y$ sean espacios con relaciones de equivalencia $\sim$ y $\square$ respectivamente, y dejemos que $f: X \to Y$ sea un mapa continuo que preserve las relaciones (si $x\sim x'$ entonces $f(x) \square f(x')).$ Demostrar que el mapa inducido $\overline f: X/\sim \to Y/\square$ es continua; además, si $f$ es una identificación, entonces también lo es $\overline f.$

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En mi investigación encontré en Wikipedia que el mapa $X\to CX$ induce un functor $C:Top\to Top$ .

Si $f:X\to Y$ es un mapa continuo, entonces $Cf:CX\to CY$ se define como $(Cf)([x,t])=[f(x),t]$

¿Es este el mapa que debo considerar para el ejercicio? Yo diría que no porque el mapa del ejercicio va de $X$ sólo y va a $CX$ mientras que el mapa de Wikipedia va de $CX$ a $CY.$

Gracias.

Answer 1

Es posible que tenga algunas confusiones aquí. Un functor $C:\mathrm{Top} \to \mathrm{Top}$ se define en objetos sino también en morfismos.

Es decir, se le da $C(X)=CX$ que le indica lo que debe hacer en objetos pero también hay que saber qué hace en los morfismos. En particular, dado un mapa continuo $f:X \to Y$ (un morfismo en $\mathrm{Top}$ ), podemos definir $C(f):C(X) \to C(Y)$ dado por $C(f)([x,t])=[f(x),t]$ .

Ahora, tienes que demostrar que este mapeo satisface los axiomas de un functor. Es decir, dado $f:X \to Y$ , $id:X \to X$ y $g:Y \to Z$ , entonces necesitamos $C(id)=id:C(X) \to C(x)$ y también que $C(g \circ f)=C(g) \circ C(f)$ .

Una vez hecho todo esto, habrá demostrado que $C$ es un functor.