Disminución del rango uno

Question

Dejemos que $X$ ser un $N\times N$ matriz real positiva semidefinida(p.s.d) con rango $R$ . Sea $x_1\in Range(X)$ sea un valor no nulo $N\times 1$ vector tal que $X_1=X-x_1x_1^T$ sigue siendo p.s.d. ¿Cuál es el rango de $X_1$ ? ¿Es así? $R-1$ ?

Answer 1

El rango de $X_1$ no tiene por qué disminuir.

Un ejemplo trivial sería el siguiente:

Dejemos que $X=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &1 \end{pmatrix}$

Toma $x_1=(1/2,1/2)^t$

Entonces, $X_1$ todavía tiene rango $1$ .

Answer 2

No necesariamente. Depende mucho de la matriz (voy a cambiar la notación, $x_1$ será un vector de columnas para mí). Para empezar, no sabemos si $x_1$ es un vector propio o no, ¿verdad?

Imagina que $x_1$ es un vector propio de valor propio $\lambda_1 \gg 1.$ En este caso, claramente $X_1=X-x_1^Tx_1$ seguiría siendo p.s.d.

El correspondiente $X_1$ es p.s.d. si y sólo si, para cada vector $v$ uno tiene:

$$\langle v, Xv \rangle \geq \langle v, x_1 \rangle^2.$$

Debe escribir $x_1$ en términos de una base de vectores propios de $X$ para estudiar las condiciones de $X_1$ para ser p.s.d. con más precisión.