Toma $\lambda>0$ y $0<x<1$ . ¿Qué tipo de conocimiento tiene alguien sobre la función $f(\lambda,x)=\lambda\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^k \frac{(-1)^j}{\lambda+j+1}\binom{k}{j}x^{\lambda+j+1}$ . ¿Hay alguna sugerencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Scott Munro
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$$\frac{\partial f(\lambda,x)}{\partial x}=\lambda \sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^k (-1)^j\binom{k}{j}x^{\lambda +j}=\lambda \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^{\lambda}\sum\limits_{j=0}^k \binom{k}{j}(-x)^j=\lambda \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^{\lambda}(1-x)^k=\frac{\lambda x^{\lambda}}{1-(1-x)}=\lambda x^{\lambda-1}$$ Así que $$f(\lambda,x)=\int\limits_0^x \lambda t^{\lambda-1}dt=x^{\lambda}$$
