Tengamos la seminorma de la segunda derivada de $u$ en $H^2(\Omega)$ es decir
$|u|_{H^2(\Omega)}=\int_{\Omega} \sum_{|\alpha|=2} D^{\alpha}u $ .
¿Podemos derivar que $|u|_{H^2(\Omega)}\leq C||\Delta u||_{L^2(\Omega)}$ ?
Respuesta
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No, no puedes.
Considere $\Omega$ siendo un círculo unitario en $\mathbb{R}^2$ . Entonces:
$$ \int\limits_{\Omega} \sum_{|\alpha|=2} | D^{\alpha}u | = \int\limits_{x^2 + y^2 < 1} \left( \left| \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right| + \left| \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \right| + \left| \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right| \right) dx \, dy $$
Obviamente, aquí se incluye la derivada mixta, pero no se incluye en el operador de Laplace.
Por ejemplo, tome $u(x, y) = xy$ . Claramente, $\Delta u \equiv 0$ pero su seminorma tiene un valor distinto de cero, porque $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \equiv 1$ .
