El título lo dice todo: ¿un espacio vectorial no tiene sentido sin una elección de base predefinida? He estado leyendo mi libro de álgebra y dice algo así como, toma un vector $v$ y que $x$ sea su coordenada con respecto a una base determinada. Mi pregunta es, ¿cómo se puede tomar un vector antes de asignar una base a su espacio vectorial? Sé que se han hecho preguntas similares aquí, pero todas implican algo sobre el Axioma de Completitud, del que aún no me he enterado. ¡Muchas gracias por su ayuda!
Respuesta
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Cualquier conjunto de objetos que satisfaga los axiomas pertinentes es un espacio vectorial. No todos los vectores son tuplas de escalares, aunque ciertamente es con lo que más se trabaja en los cursos de introducción. Por ejemplo, el conjunto de funciones de valor real definidas en el intervalo $[0,1]$ forma un espacio vectorial sobre los reales. Me costaría mucho definir una base para este espacio.
Ahora, para un espacio de dimensiones finitas sobre algún campo $\mathbb K$ la elección de una base equivale a definir un isomorfismo entre el espacio y $\mathbb K^n$ Por eso, cuando se estudian los espacios vectoriales de dimensión finita, es posible centrarse en las tuplas de escalares.
