Una caja contiene $n$ bolas idénticas numeradas $1$ a través de $n$ . Supongamos que $k$ las bolas se extraen sucesivamente.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que m sea el mayor número extraído?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor número extraído sea menor o igual a $m$ ?
¿No sé cómo resolver este problema? ¿Podría ayudarme? Para (a), sólo sé que el denominador será $\binom{n}{k}$ . ¿Cómo encontrar el numerador para ambos casos?
Comencemos con $b$ .
Para cada $m$ con $1≤m≤n$ queremos contar el número de formas de elegir $k$ números $≤m$ . Por definición, esto es $\binom mk$ . Como hay $\binom nk$ formas ilimitadas de elegir los números, vemos que $$\text {Prob}(\max ≤m)=\frac {\binom mk}{\binom nk}$$
Por supuesto, ante tal elección, el máximo podría ser $<m$ . Para obtener la probabilidad de que el máximo sea exactamente $m$ restamos. Así: $$\text {Prob}(\max =m)=\text {Prob}(\max ≤ m)-\text {Prob}(\max ≤m-1)= \frac {\binom mk}{\binom nk}-\frac {\binom {m-1}k}{\binom nk}$$
Creo que tu problema es el idioma. Intentaré reformular un caso concreto de la pregunta de forma diferente para que podamos ver realmente cuál es el significado de $n,m,k$ son.
(a)
Supongamos que tenemos las diez primeras letras del alfabeto: $\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$ y seleccionamos tres de ellos uniformemente al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el "mayor" ( con respecto al orden alfabético ) que elegimos es un $F$ ?
Como hay diez letras y vamos a elegir tres de ellas, hay $\binom{10}{3}$ diferentes selecciones que se pueden hacer. Este será nuestro denominador.
En cuanto al numerador, si suponemos que nuestra mayor letra elegida fue un $F$ lo que significa, en particular, que un $F$ fue elegida y quedan dos letras adicionales para elegir y esas dos letras adicionales debe ser menor que $F$ De lo contrario, $F$ no habría sido la mayor letra elegida. Es decir, miramos cuántas formas hay de elegir dos letras de $\{A,B,C,D,E\}$ para completar el resto de nuestro conjunto de letras elegidas. Hay $\binom{5}{2}$ formas de hacerlo.
Esto nos da una probabilidad de $\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{3}}$
Espero que quede claro por qué el ejemplo anterior es exactamente igual que el problema de encontrar la probabilidad de que el mayor número elegido sea $m$ cuando $k$ las bolas se eligen entre $n$ disponible. En el ejemplo anterior teníamos $n=10$ bolas disponibles, seleccionamos $k=3$ bolas, y la bola más grande debía ser $m=6$ . La misma lógica aplicada anteriormente muestra que la probabilidad de que el máximo sea $m$ es $\dfrac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{n}{m}}$
Cabe destacar que $\binom{m}{k}-\binom{m-1}{k}=\binom{m-1}{k-1}$ así que esta respuesta coincide con la de @lulu y @greedoid.
(b)
Supongamos que tenemos las diez primeras letras del alfabeto: $\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$ y seleccionamos tres de ellos uniformemente al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las letras elegidas sean de $\{A,B,C,D,E,F\}$ ? Es decir, todas las letras elegidas aparecen antes de $F$ en el diccionario o son $F$ ellos mismos.
De nuevo, hay $\binom{10}{3}$ formas de seleccionar tres letras de nuestro conjunto de diez. Este es de nuevo nuestro denominador.
Eligiendo nuestras tres letras, no nos importa lo que sean siempre que todas provengan del conjunto $\{A,B,C,D,E,F\}$ . Hay seis letras en este juego y la elección de tres de ellas se puede hacer en $\binom{6}{3}$ formas.
Esto da una probabilidad de $\dfrac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}$
De nuevo, esto debería ser una clara metáfora del problema original en el que $n=10,m=6,k=3$ . Para valores arbitrarios de $n,m,k$ encontrará usando la misma lógica anterior que la probabilidad es $\dfrac{\binom{m}{k}}{\binom{n}{k}}$
Cabe destacar que $\sum\limits_{i=k}^m\binom{i-1}{k-1}=\binom{m}{k}$ a través de la "identidad hockeystick" y así esta respuesta coincide tanto con la de @greedoid como con la de @lulu.
" La parte que se me atasca es $\binom{m}{k}$ . Si es $\binom{m}{k}$ , entonces estamos eligiendo $k$ bolas de $m$ bolas, ¿verdad? Pero entonces $m$ es el mayor número de bolas extraídas, $k$ debe ser $= m$ ? "
Sí, $\binom{m}{k}$ representa el número de formas de elegir $k$ objetos de $m$ objetos. Estamos en el segundo problema, tal y como lo he planteado eligiendo $k$ bolas de esas bolas numeradas $\{1,2,3,4,\dots,m\}$ . No hay ningún requisito para $k$ para que sea igual a $m$ sin embargo. Simplemente queremos que el etiqueta de mayor aparición sea inferior o igual a $m$ ( o igual a $m$ en el caso de la parte (a) ), no exigimos que el número de bolas seleccionadas sea igual a $m$ . Por eso elegí utilizar letras en mis metáforas. Queríamos que todas las letras elegidas aparecieran en o antes de $F$ en el alfabeto. Cuando elegimos tres letras, el número $k=3$ no tiene nada que ver con la carta $F$ ( el $m=6$ La letra del alfabeto ).
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