$G$ es un grupo, si ∀a,b∈G, $a^2b=ba^2$ es $G$ ¿Abelio?

Question

$G$ es un grupo, si a,bG, $a^2b=ba^2$ Cómo hacer que un contraejemplo demuestre que $G$ NO es abeliano?

¿Cuál es el contraejemplo cuando $a^nb=ba^n$ ?

Answer 1

Un contraejemplo sencillo es el grupo $G = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ cuya multiplicación es la de los cuaterniones . $G$ no es abeliano ya que $ij = k$ y $ji = -k$ pero el cuadrado de cualquier elemento es $1$ o $-1$ y por lo tanto conmuta con todos los elementos del grupo.

Answer 2

Para obtener un contraejemplo, se necesita un elemento que no sea el cuadrado de otro elemento. Un buen ejemplo sería el grupo de los cuaterniones, donde $i^2=j^2=k^2=-1$ y $(-1)^2=1$ . $-1$ conmuta con todos los elementos del grupo de cuaterniones. Lee el Artículo de Wikipedia aquí.

Dado que cada elemento del grupo de cuaterniones elevado al $4$ es la identidad, se deduce que para todo $n|4$ Su grupo no tiene por qué ser abeliano.

Para $n\equiv2\mod4$ también se puede utilizar el grupo de cuaterniones, ya que cada elemento elevado al $n$ La potencia sería $-1$ o $1$ que se desplaza.

(Esto sigue dejando fuera el caso en que $n$ es impar).