ampliación de una superficie en un punto

Question

He estado leyendo la Geometría Compleja de Huybrecht, y me encontré con esta pregunta en la sección 2.5:

Dejemos que $\hat X\rightarrow X$ sea la ampliación de una superficie $X$ en un punto $x\in X$ Demostrar que el pull-back de secciones define un isomorfismo: $$H^0(X,K_X)=H^0(\hat X,K_\hat X).$$

¿Alguien tiene alguna idea para resolver este ejercicio?

Muchas gracias.

Answer 1

Escribo aquí la solución por si alguien se siente confundido con el problema.

De hecho, el problema se puede generalizar. $X$ puede ser una variedad compleja de dimensión arbitraria. $dim=1$ la situación es trivial, ya que ahora, la expansión a lo largo de un punto (divisor) no cambia $X$ es decir.., $\hat X=X$ .

Para $dim\ge 2$ para una dirección: $H^0(X,K_x)\rightarrow H^0(\hat X,K_\hat X)$ Para otra dirección, primero tenemos la restricción $H^0(\hat X,K_\hat X)\rightarrow H^0(\hat X\setminus E,K_{\hat X\setminus E})$ En el mismo tiempo, $H^0(\hat X\setminus E,K_{\hat X\setminus E})\cong H^0( X\setminus\left\{ x \right\},K_{X\setminus\left\{ x \right\}})$ Utilizando el teorema de extensión de Hartog, ya que $dim(X\setminus\left\{x\right\})\ge 2$ tenemos $H^0( X\setminus\left\{ x \right\},K_{X\setminus\left\{ x \right\}})=H^0(X,K_x)$ .

Sólo tenemos que mostrar $H^0(\hat X,K_\hat X)=H^0(\hat X\setminus E,K_{\hat X\setminus E})$ ya que $$H^0(E,K_E)=H^0(E,\sigma ^* {K_X}\otimes\mathcal O(E)|_E),$$ $\sigma ^* {K_X}|E$ es trivial, $\mathcal O(E)|_E=\mathcal O(-1)$ no tiene sección global. Obtenemos $H^0(E,K_E)=0$ .

$Q.E.D.$