Pregunta sobre la búsqueda de un complemento ortogonal

Question

Así que tengo una pregunta práctica, y quiero asegurarme de que mi comprensión del concepto es válida. Este es el texto de la pregunta:

Encontrar el complemento ortogonal del subespacio de $ R^3$ abarcados por $ \left( 1, 2, 1 \right)^{T}$ y $\left( 1, -1, 2 \right)^{T}$ .

De acuerdo, mi problema no es encontrar el complemento ortogonal, sino la incertidumbre de si mi comprensión del concepto de extensión/base es sólida. La respuesta del libro es

El complemento ortogonal está atravesado por $\left( -5, 1, 3 \right)^{T}$

La respuesta a la que llegué es $\left( -\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, 1 \right)^{T}$ Aunque creo que esta respuesta, y un número infinito de múltiplos de esta respuesta, son correctos, no estoy 100% seguro de ello. También ha sido una experiencia común en mi vida el estar muy equivocado a pesar de mi confianza en lo contrario. ¿Podría algún compañero matemático confirmar o desmentir esto?

Answer 1

Se busca el espacio de todos los vectores que son perpendiculares a ambos $[1,2,1]^T$ y $[1,-1,2]^T$ . es decir, perpendicular al plano que "abarcan" juntos. Geométricamente ese espacio debe ser una línea, o un espacio vectorial unidimensional.

Para comprobar su respuesta, debe asegurarse de que su $[-\frac{5}{3},\frac{1}{3},1]^T$ es efectivamente perpendicular a ambos vectores (y entonces por linealidad será perpendicular a todo el plano que abarcan). bien $$ \left[-\frac{5}{3},\frac{1}{3},1 \right]^T \cdot[1,2,1]=0 $$ y $$\left[-\frac{5}{3},\frac{1}{3},1 \right]^T \cdot[1,-1,2]=0 $$ también, ¡así que estás bien!