Hace $P(X\leq a) = P(X^2\leq a^2)$ si $X$ es una variable aleatoria positiva y $a>0$ ?

Question

La respuesta me parece positiva, ya que $$P(\omega:X(\omega) \leq a) = P(\omega:X(\omega)^2\leq a^2)$$ ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Si $X(\omega) > 0$ para todos $\omega$ y $a>0$ entonces $$ X(\omega)^2 \leq a^2 \iff X(\omega) \leq a $$ Así que como conjuntos, $$ \{\omega : X(\omega)^2 \leq a^2\} = \{\omega : X(\omega) \leq a\} $$