$M_t$ es una martingala con respecto a $\mathcal{F _t}$ para $t \geq 0$ y $Z$ es un límite $\mathcal{F_r}$ variable aleatoria medible. $0\leq r < s <\infty$ . Quiero demostrar que $Z( M_{s\wedge t}-M_{r\wedge t})$ es una martingala.
Empecé introduciendo una variable temporal adicional p tal que $r \leq u <s$ y luego estaba pensando en mirar $E[Z( M_{s\wedge t}-M_{r\wedge t})|F_{u}]$ pero no estoy seguro de tratar con el producto. ¿Alguien tiene algún consejo?
No olvide mencionar el hecho de que $Z( M_{s\wedge t}-M_{r\wedge t})$ es medible e integrable en el álgebra sigma $F_s$ .
Por lo demás, este es un buen comienzo: ahora como $Z$ es $F_u$ medible, tiene
$$E[Z( M_{s\wedge t}-M_{r\wedge t})|F_{u}] = Z E[ M_{s\wedge t}-M_{r\wedge t}|F_{u}] = Z E[ M_{s\wedge t}|F_{u}] -M_{r\wedge t} $$ y como la martingala parada es una martingala también, $$ E[ M_{s\wedge t}|F_{u}] = M_{u\wedge t} $$
Si juntas eso, tienes lo que quieres.
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